tegen de wijzers van de klok in, dan is α positief
met de wijzers van de klok mee, dan is α negatief.
Voor alle hoeken α is afgesproken sin (α) = yp en cos (α) = xp.
Slide 2 - Tekstslide
Radiaal en graad
Slide 3 - Tekstslide
Opdrachten
4, 18
4
18
Slide 4 - Tekstslide
Transformaties bij goniometrische functies
Op deze grafieken kun je vier bekende transformaties toepassen
Slide 5 - Tekstslide
Opdrachten
25, 26
25
26
Slide 6 - Tekstslide
Berekeningen met de sinus en de cosinus
y=3 + 2sin(1/4π(x - 1,5)) met 0<= x <= 10
Bereken algebraïsch ymax en de bijbehorende x.
Bereken algebraïsch ymin en de bijbehorende x
Bereken y voor x = 4,7
Voor welke x is y = 4,6?
Bereken de helling van de grafiek voor x = 5.
Bereken de maximale helling van de grafiek
Slide 7 - Tekstslide
Opdrachten
64, 65, 66, G42
Slide 8 - Tekstslide
Voorbeeld
Bereken exact de oplossingen in [0, 2π].
a. sin(2x - 1/3 π) = 1
b. cos2(x) = 1
Slide 9 - Tekstslide
Opdrachten
56, 61, G43
Slide 10 - Tekstslide
Groeipercentages omzetten naar een andere tijdseenheid
groeifactor van 0,6 per dag
per week -> 0,67
per uur -> 0,61/24
per acht uur -> 0,61/3
Slide 11 - Tekstslide
Groeipercentages omzetten naar een andere tijdseenheid
Bij een toename van 70% per week
gweek = 1,70
gdag = 1,701/7 ≈ 1,079
Het groeipercentage per dag is 7,9%
Slide 12 - Tekstslide
Verdubbelingstijd en halveringstijd
De verdubbelingstijd is de tijd waarin een hoeveelheid verdubbelt bij exponentiële groei.
Bij groeifactor g bereken je de verdubbelingstijd T door de vergelijking gT = 2 op te lossen.
Slide 13 - Tekstslide
Verdubbelingstijd en halveringstijd
De halveringstijd is de tijd waarin een hoeveelheid halveert bij exponentiële groei.
Bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door de vergelijking gT = 1/2 op te lossen.
Slide 14 - Tekstslide
Opdrachten
14, 16, 24
Slide 15 - Tekstslide
Logaritmen en vergelijkingen
Exact oplossen van gx = a geeft x = glog(a).
Slide 16 - Tekstslide
Rekenregels en herleiden
glog(a) + glog(b) = glog(ab)
glog(a) - glog(b) = glog(a/b)
p * glog(a) = glog(ap)
glog(a) = plog(a) / plog(g)
Slide 17 - Tekstslide
Rekenregels en vergelijkingen
In opgave 56 heb je de vergelijking log(x) + log(5) = 2 exact opgelost door het linkerlid tot één logaritme te herleiden en vervolgens te gebruiken dat glog(A) = B geeft A = gB.
Soms is het handiger om toe te werken naar de vorm glog(A) = glog(B).
Je gebruikt dan:
Slide 18 - Tekstslide
Opdrachten
31, 34, 39, 59
Slide 19 - Tekstslide
Exponentiële formules en machtsformules omwerken
Het is mogelijk de formule N = b * gt te schrijven in de vorm log(N) = pt + q.
Je gebruikt daarbij de regels log(ab) = log(a) + log(b) en log(ap) = p * log(a).
Hoe dat gaat bij de formule N = 15000 * 0,97t zie je hierna.
N = 15 000 * 0,97t(Neem links en rechts de logaritme)
Slide 20 - Tekstslide
Formules met logaritmen omwerken
De formule log(N) = 0,0334t + 2,30 is te schrijven in de vorm N = b*gt.
Dat gaat als volgt.
log(N) = 0,334t + 2,30 (Gebruik log(a) = b geeft a = 10b)
N = 100,334t + 2,30(Gebruik ap+q = ap * aq)
N = 100,334t * 102,30(Gebruik apq = (ap)q)
Slide 21 - Tekstslide
Formules met logaritmen omwerken
N = (100,0334)t * 102,30(Bereken 100,0334 en 102,30)
N ≈ 200 * 1,08t
Dus N = 200 * 1,08t.
De formule log(F) = 1,30 + 3 *log(L) is te schrijven in de vorm F = aLb.
Dat gaat als volgt.
Slide 22 - Tekstslide
Formules met logaritmen omwerken
log(F) = 1,30 + 3 * log(L) (Gebruik a = log(10a) en p * log(a) = log(ap))
De grafiek van de standaardfuncties y = gx en y = glog(x) zijn standaardgrafieken.
Je kent het effect van transformaties op deze standaardgrafieken.
Slide 25 - Tekstslide
Rekenregels en transformaties
verm. x-as, a
y = gx --> y = a * gx
y = glog(x) --> y = a * glog(x)
Slide 26 - Tekstslide
Rekenregels en transformaties
verm. y-as, b
y = gx --> y = g(1/b)x
y = glog(x) --> y = glog(1/bx)
Slide 27 - Tekstslide
Rekenregels en transformaties
translatie(c, 0)
y = gx --> y = gx - c
y = glog(x) --> y = glog(x - c)
Slide 28 - Tekstslide
Rekenregels en transformaties
translatie(0, d)
y = gx --> y = gx + d
y = glog(x) --> y = glog(x ) + d
Slide 29 - Tekstslide
opdrachten
63
Slide 30 - Tekstslide
Goniometrische verhoudingen
Overstaande rechthoekszijde
sin hoek A = Schuine zijde
Aanliggende rechthoekszijde
cos hoek A = Schuine zijde
Overstaande rechthoekszijde
tan hoek A = Aanliggende rechthoekszijde
Sos Cas Toa
Slide 31 - Tekstslide
Sinusregel
a b c
sin hoek A = sin hoek B = sin hoek c
Slide 32 - Tekstslide
Cosinusregel
a2 = b2 + c2 - 2bc cos(hoek A)
b2 = a2 + c2 - 2ac cos(hoek B)
c2 = a2 + b2 - 2ab cos(hoek C)
Slide 33 - Tekstslide
Afspraak
In dit hoofdstuk bereken je hoeken in graden.
Rond daarbij het eindantwoord af op één decimaal,
tenzij anders wordt gevraagd.
Rond niet af in tussenstappen.
Slide 34 - Tekstslide
Vergelijkingen en
de stelling van Pythagoras
In figuur 10.30 is de cirkel met de gelijkbenige driehoek ABC van opgave 17 nog eens getekend.
In opgave 17 is DM = x gesteld om AB te berekenen.
Je kunt ook bijvoorbeeld AD = x stellen.
Slide 35 - Tekstslide
Opdrachten
18, 20, 23
Slide 36 - Tekstslide
Lijnen, hoeken en afstanden
De hoek tussen twee lijnen
De richtingshoek van een lijn is de hoek waarover je de x-as moet draaien om de x-as te laten samenvallen met de lijn
Voor de richtingshoek α van de lijn k geldt tan( α) = rck en -90º < α ≤ 90º .
Slide 37 - Tekstslide
Lijnen, hoeken en afstanden
Voor de lijnen k en l met rck ≠ 0 en rcl ≠ 0 geldt:
rck * rcl = -1 en k ⊥ l komt op hetzelfde neer.
Hieruit volgt dat de lijnen ax + by = c en bx - ay = d loodrecht op elkaar staan.
Slide 38 - Tekstslide
Lijnen, hoeken en afstanden
Afstanden bij punten en lijnen
De afstand tussen de punten A(xA,yA) en B(xB,yB) is
d(A,B) = wortel( (xB - xA)2 + (yB - yA)2 ).
Voor het berekenen van de afstand van een punt tot een lijn gebruik je het volgende werkschema
Slide 39 - Tekstslide
Lijnen, hoeken en afstanden
Werkschema: de afstand van het punt A tot de lijn k berekenen.
Stel een vergelijking op van de lijn l door A die loodrecht staat op k.
Bereken de coördinaten van het snijpunt B van k en l.
Gebruik d(A,k) = d(A,B).
Slide 40 - Tekstslide
Opdracht
Maken 27
Slide 41 - Tekstslide
Voorbeeld
Gegeven is de functie f(x)= 2/x. De lijn k raakt de grafiek van f in het punt A met xA = 2. De cirkel c heeft middelpunt M met xm = xA en ym < 0, gaat door A en raakt de y-as.
De lijn k snijdt c behalve in A ook in het punt B.