H3.3CD - Vergelijkingen in de meetkunde

Programma van de les

Programma:

Instructie vergelijkingen met wortels
Zelf aan de slag

Lesdoel:

Na de les kan je vergelijkingen met wortels oplossen.
Na de les kan je wortels herleiden.

1 / 23

Slide 1: Tekstslide

WiskundeMiddelbare schoolhavoLeerjaar 4

In deze les zitten 23 slides, met interactieve quiz en tekstslides.

Lesduur is: 45 min

Onderdelen in deze les

Programma van de les

Programma:

Instructie vergelijkingen met wortels
Zelf aan de slag

Lesdoel:

Na de les kan je vergelijkingen met wortels oplossen.
Na de les kan je wortels herleiden.

Slide 1 - Tekstslide

Rekenen met wortels

Slide 2 - Tekstslide

Rekenen met wortels

Afspraak: Je brengt altijd een zo groot mogelijke factor voor de wortel en je laat geen wortels in de breuken van een noemer staan

\frac{​ 4 ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} = \frac{​ 4 ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} \cdot \frac{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} = \frac{​ 4 \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} = \frac{​ 4 \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ 5 ​} = \frac{​ 4 ​ ​}{​ 5 ​} \sqrt ​ 5 ​ ​ ​

\sqrt ​ 72 ​ ​ ​ = \sqrt ​ 9 \cdot 8 ​ ​ ​ = \sqrt ​ 9 ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ 8 ​ ​ ​ = 3 \sqrt ​ 8 ​ ​ ​

Slide 3 - Tekstslide

Vergelijkingen met wortels

Slide 4 - Tekstslide

Herleid:

2 \sqrt ​ 24 ​ ​ ​ \cdot - \frac{​ 8 ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​}

2 \cdot \sqrt ​ 6 \cdot 4 ​ ​ ​ - \frac{​ 8 ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​}

4 \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - \frac{​ 8 ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​}

4 \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - \frac{​ 8 ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​} \cdot \frac{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​}

4 \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - \frac{​ 8 \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​ ​}{​ 6 ​}

4 \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - 1 \frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​} \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​

2 \frac{​ 2 ​ ​}{​ 3 ​} \sqrt ​ 6 ​ ​ ​

Slide 5 - Tekstslide

Herleid:

a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + \sqrt ​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} a^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + \sqrt ​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ a^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + \frac{​ \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ ​ ​}{​ 2 ​} \cdot a

a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ \cdot a

a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} a \cdot \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

1 \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} a \cdot \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

Slide 6 - Tekstslide

Bijzondere rechthoekige driehoeken

De zijden van een gelijkbenige

rechthoekige driehoek verhouden

zich als 1:1:

De zijden van een driehoek met

hoeken van

verhouden zich als 1:2:

\sqrt ​ 2 ​ ​ ​

°

30 ° e n 60 °

\sqrt ​ 3 ​ ​ ​

Slide 7 - Tekstslide

Bijzondere rechthoekige driehoeken 3.3 theorie D

\sqrt ​ 3 ​ ​ ​

\sqrt ​ 2 ​ ​ ​

Slide 8 - Tekstslide

De sinusregel

\frac{​ a ​ ​}{​ sin ( α ) ​} = \frac{​ b ​ ​}{​ sin ( β ) ​} = \frac{​ c ​ ​}{​ sin ( γ ) ​}

Met 3 "stukjes info" kun je nu bijna

altijd alles in een driehoek berekenen

Let op: bij stompe hoeken

sin (180 ° - α) = sin (α)

Slide 9 - Tekstslide

De cosinusregel

a^{​ 2 ​ ​} = b^{​ 2 ​ ​} + c^{​ 2 ​ ​} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos (α)

b^{​ 2 ​ ​} = a^{​ 2 ​ ​} + c^{​ 2 ​ ​} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos (β)

c^{​ 2 ​ ​} = a^{​ 2 ​ ​} + b^{​ 2 ​ ​} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos (γ)

Als je 3 zijdes hebt kun je de hoeken uitrekenen

Als je twee zijdes met de ingesloten hoek hebt, kun je de 3e zijde berekenen

Slide 10 - Tekstslide

Berekeningen met bijzondere driehoeken

1 : 1 : \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

1 : 2 : \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

Slide 11 - Tekstslide

Voorbeeldsom verschillende goniometrie theorieën

Bereken exact de oppervlakte van ABC.

1. gelijkbenig ? Nee

2. rechthoekige ? Nee

3. Sinusregel? setje + andere zijde of hoek bekend? Ja

omdat hoek C = (setje)

+ een andere hoek

4. Cosinusregel? twee zijden met ingesloten hoek of alle zijden bekent? Nee

105 °

Slide 12 - Tekstslide

Bereken exact de oppervlakte van ABC.

4. Sinusregel

1. Hoeken benoemen

2. Zijden benoemen: a, b en c

3. Hoogtelijn AC berekenen

c = 10 en

4. Nu kun je hoogtelijn C op AB uitrekenen met CAS: cos 30 = c/7,3

cos 30 x 7, 3 = 6,34

5. Daarna opp = 1/2 x hoogtelijn x c = 1/2 x 6,34 x 10 = 31,55

α, β e n γ

α

β

γ

b = 7, 3

a

c

105 °

γ = 105 °

\frac{​ a ​ ​}{​ sin ( α ) ​} = \frac{​ b ​ ​}{​ sin ( β ) ​} = \frac{​ c ​ ​}{​ sin ( γ ) ​}

\frac{​ a ​ ​}{​ sin ( 3 0 ) ​} = \frac{​ b ​ ​}{​ sin ( 4 5 ) ​} = \frac{​ 1 0 ​ ​}{​ sin ( 1 0 5 ) ​}

= b = \frac{​ 1 0 \cdot sin ( 4 5 ) ​ ​}{​ sin ( 1 0 5 ) ​} = 7, 32

Slide 13 - Tekstslide

Gelijkbenige driehoek

verhouding : 1: 1:

....... : ...... : 8 =

\sqrt ​ 2 ​ ​ ​

8

\frac{​ 8 ​ ​}{​ \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ ​} = 5, 6568 = 5, 7

Slide 14 - Tekstslide

Rechthoekige driehoek

verhouding : 1: 2:

....... : ...... : =

AC = BC : 2

\sqrt ​ 3 ​ ​ ​

6 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

30 °

6 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

A B = \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ \cdot A C = \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ \cdot 3 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ = 9

Slide 15 - Tekstslide

Bereken KL

1. Bijzonder rechthoek? Ja 30, 90 en 60 graden: 1 : 2 : of zie hieronder

NL = MN = 5

30 °

45 °

N

10

\sqrt ​ 3 ​ ​ ​

M N = \frac{​ K M ​ ​}{​ 2 ​} = \frac{​ 1 0 ​ ​}{​ 2 ​} = 5

5

K M^{​ 2 ​ ​} - M N^{​ 2 ​ ​} = K N^{​ 2 ​ ​}

K N^{​ 2 ​ ​} = 10^{​ 2 ​ ​} - 5^{​ 2 ​ ​} = 100 - 25 = 75

10

K N = \sqrt ​ 75 ​ ​ ​ = 8, 66

SCHETS

M L = \sqrt ​ 5^{​ 2 ​ ​} + 5^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​ = \sqrt ​ 50 ​ ​ ​ \approx 7

Slide 16 - Tekstslide

Rechthoekige driehoek

verhouding : 1: 2:

....... : ...... : =

AC = BC : 2

\sqrt ​ 3 ​ ​ ​

10

30 °

6 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

A B = \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ \cdot A C = \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ \cdot 3 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ = 9

Slide 17 - Tekstslide

timer

10:00

Slide 18 - Open vraag

Slide 19 - Tekstslide

a. AP = x en druk PW uit in x

b. Hoe kom je aan AB =

c. Bereken zijde AP

We weten:

a. regelmatige achthoek : alle zijden zijn gelijk!

b. gelijkbenige rechthoekige

achthoek dus PW = PQ = QB etc.

1 (WA) : 1 (AP) : (PW)

PWA:

AB = AP + PQ + QR

\sqrt ​ 2 ​ ​ ​

P Q = \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ \cdot A P = \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ \cdot x = x \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

6 = x + x \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + x = 2 x + x \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

6 = x (2 + \sqrt ​ 2 ​ ​ ​)

2 x + x \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

Slide 20 - Tekstslide

Los algebraïsch op:

1. Ik wil alleen x links als heel getal hebben:

x 3

2 Nu uit noemer (deler) halen:

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​} x \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ - 10 = 3 \sqrt ​ 15 ​ ​ ​

\frac{​ x \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} = \frac{​ ( 9 \sqrt ​ 1 5 ​ ​ ​ + 3 0 ) ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​}

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​} x \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ = 3 \sqrt ​ 15 ​ ​ ​ + 10

\sqrt ​ 5 ​ ​ ​

x = \frac{​ 9 \sqrt ​ 1 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} + \frac{​ 3 0 ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​}

x = 9 \cdot \frac{​ \sqrt ​ 1 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} + \frac{​ 3 0 ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​}

x = 9 \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ + \frac{​ 3 0 ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} \cdot \frac{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​}

\sqrt ​ 5 ​ ​ ​

x = 9 \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ + \frac{​ 3 0 \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ 5 ​}

x = 9 \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ + \frac{​ 3 0 ​ ​}{​ 5 ​} \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​

x = 9 \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ + 6 \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​

Slide 21 - Tekstslide

Aan de slag

Wat?

Opdracht 50, 51, 52,

55, 56

Hoe?

Zelfstandig

Heb je het niet af gekregen? Dan wordt het huiswerk.

timer

10:00

Slide 22 - Tekstslide

Aan de slag

Wat?

Opdracht 57, 59, 60,

Hoe?

Zelfstandig

Heb je het niet af gekregen? Dan wordt het huiswerk.

timer

10:00

Slide 23 - Tekstslide

H3.3CD - Vergelijkingen in de meetkunde

Onderdelen in deze les

Slide 1 - Tekstslide

Slide 2 - Tekstslide

Slide 3 - Tekstslide

Slide 4 - Tekstslide

Slide 5 - Tekstslide

Slide 6 - Tekstslide

Slide 7 - Tekstslide

Slide 8 - Tekstslide

Slide 9 - Tekstslide

Slide 10 - Tekstslide

Slide 11 - Tekstslide

Slide 12 - Tekstslide

Slide 13 - Tekstslide

Slide 14 - Tekstslide

Slide 15 - Tekstslide

Slide 16 - Tekstslide

Slide 17 - Tekstslide

Slide 18 - Open vraag

Slide 19 - Tekstslide

Slide 20 - Tekstslide

Slide 21 - Tekstslide

Slide 22 - Tekstslide

Slide 23 - Tekstslide

Meer lessen zoals deze

H3.4 Vergelijkingen in de meetkunde

Eigenschappen van vlakke figuren

7.2 C Gelijkbenige driehoeken

H7.2A 7.3A

Samenvatting H3 Hoeken en afstanden

Samenvatting H3 Hoeken en afstanden

Samenvatting H3 Hoeken en afstanden

H7.2 | Bijzondere driehoeken HUI ...