2122 - Goniometrie - H10 - 3M

• Wiskunde
• Middelbare school
• vmbo t
• Leerjaar 3

Goniometrie

3 mavo

Doelen bij deze les

We hebben eerder geleerd zijden te berekenen met Pythagoras.

We hebben geleerd hoeken en zijden te berekenen met tangens.

Nu gaan we leren ook met sinus en cosinus te werken 

En we gaan leren dit allemaal door elkaar gebruiken.

Doelen:

• Ik kan bepalen wanneer ik de Stelling van Pythagoras, hoekensom driehoek of  

  goniometrie moet gebruiken.

• Ik kan bepalen wanneer ik sinus, cosinus of tangens moet gebruiken.

• Ik kan met sinus, cosinus of tangens een hoek of een zijde van een

  rechthoekige driehoek berekenen.

HERHALING!

Hfd. 5

HERHALING!

Hfd. 5

HERHALING!

Hfd. 5

tan∠B=​A​​O​​

tan∠B=​32​​18​​=0,563

∠B=29,4°

Voorbeeld

3 decimalen

alleen bij een rechthoekige driehoek!

tan​−​​1(0,563)=29,4°

Voorbeeld

29,4°

tan∠C=​A​​O​​

tan29,4=​32​​AB​​

AB=tan29,4⋅32=18,0

2=​3​​6​​

AB?

tan∠B=​A​​O​​

29,4°

Voorbeeld

tan29,4=​AB​​18​​

AB=​tan29,4​​18​​=31,9

2=​3​​6​​

AB?

weet je nog?

de stelling van pythagoras

→x​2​​

√←

Dus AC = 36,7 

De stelling van Pythagoras hebben we ook al eerder geoefend.

Maar je kunt hem ook korter opschrijven.

Vanaf nu gebruiken we deze schrijfwijze!

Dus onthoudt de verkorte stelling van Pythagoras:

Wanneer je een korte zijde uit moet rekenen, gebruik je de volgende formule:

kz=​[?]​​√​lz​2​​−kz​2​​​​​

lz=​[?]​​√​kz​2​​+kz​2​​​​​

Terugblik: Pythagoras - Verkort

Dus onthoudt de verkorte stelling van Pythagoras:

Wanneer je een korte zijde uit moet rekenen, gebruik je de volgende formule:

10.2 - Sinus, cosinus, tangens

We hebben eerder gezien dat TANGENS de verhouding is tussen  de overstaande en aanliggende zijde:

(hoek B)

Maar je hebt ook nog 2 andere verhoudingen, namelijk de SINUS en de COSINUS.

Sinus hoek B  = AC : AB

Cosinus hoek B  = BC : AB

Afhankelijk van wat er gevraagd wordt, kies je voor sinus, cosinus of tangens

10.3 - Hoeken berekenen met Sinus, cosinus, tangens

hoek berekenen met sinus

sin∠A=​S​​O​​=​36,7​​18​​=0,490

∠A=29,4°

nu dus sin -1 of shift sin

op de rekenmachine

3 decimalen

 hoek berekenen met cosinus

cos∠A=​S​​A​​=​36,7​​32​​=0,872

∠A=29,3°

3 decimalen

nu dus cos -1 of shift cos 

op de rekenmachine

 zijde berekenen met sinus

29,4°

BC?

sin∠B=​S​​O​​

sin29,4=​BC​​18​​

2=​3​​6​​

BC=​sin29,4​​18​​=36,7

10.4 - Zijden berekenen met Sinus, cosinus, tangens

10.5 - Zijden en hoeken berekenen 

Hoe beslis je wat je moet doen?

Stappenplan voor het gebruik van:

sinus, cosinus of tangens 

1. Lees de vraag goed
2. Kijk goed naar de afbeelding
3. Wat moet je berekenen? Een hoek of een zijde?
4. Welke gegevens (zijden en hoeken) weet je? Schrijf ze op
5. Welke van SOS-CAS-TOA kan je dan gebruiken?
6. Schrijf alles netjes op
7. Geef antwoord op de vraag

Op de volgende pagina wordt verwezen naar een beslisboom. Kijk maar eens!

www.geogebra.org

LET OP!   De opgave bepaalt wat je moet gebruiken!

Hoek gevraagd - 1.  Je weet 2 zijden: soscastoa

                             - 2.  Je weet 2 hoeken:  hoekensom

Zijde gevraagd - 1. Je weet 2 zijden: Pythagoras of soscastoa

                             - 2. Je weet 1 zijde / 1 hoek: soscastoa

                             

weet je nog?

hellingspercentage∠A=tan∠A⋅100

tan∠A=​A​​O​​=​32​​18​​=0,563

hellingspercentage∠A=0,563⋅100

= 56,3%

3 decimalen

Voor het uitrekenen van het hellingspercentage heb je altijd  tan nodig. Als je overstaande of aanliggende zijde niet weet, dan eerst uitrekenen met Pythagoras (zie voorbeeld)

om te onthouden...

... berekeningen met cos, sin, tan en pythagoras 

alleen in een rechthoekige driehoek 

... maak altijd een schets waarin je alle gegevens zet

... bekijk eerst welke zijden en hoeken je hebt, daarna kan je bepalen of je sin, cos of tan of pythagoras 

   moet gebruiken