Allerlei verbanden

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 3

weet je nog...

toename van 23% ... vermenigvuldigingsfactor 1,23

toename van 2,3% ... vermenigvuldigingsfactor 1,023

afname van 16% ... vermenigvuldigingsfactor 0,84

afname van 1,6% ... vermenigvuldigingsfactor 0,984

Allerlei verbanden

In deze les leer je...

...wat exponentiële is

...hoe je rekent met exponentiële groei

...wat het verschil is tussen lineaire en exponentiële groei

...wat interpoleren en extrapoleren is

...werken met periodieke verbanden

...rekenen met machtsfuncties

...de formule bij een omgekeerd evenredig verband

Exponentiële groei

Als iets per tijdseenheid met een percentage toeneemt

N=b⋅g​t​​

b=begingetal

g= groeifactor

t= tijd

op 1-1-2017 2,22 miljoen
ieder jaar +1,9%
hoeveel in 2024?

Exponentiële groei

N=b⋅g​t​​

b= 2,22 miljoen

op 1-1-2017 2,22 miljoen

ieder jaar +1,9%

hoeveel in 2024? 

g=​100​​101,9​​=1,019

t=7 jaar

N=2,22⋅1,019​7​​=2,532...

Dus op 1-1-2024 is het 

ongeveer 2,53 miljoen

Exponentiële groei

op 1-1-2017 2,22 miljoen

ieder jaar +1,9%

wanneer voor het eerst meer dan 3 miljoen? 

op 1-1-2017 2,22 miljoen
ieder jaar +1,9%
wanneer voor het eerst meer dan 3 miljoen?

Exponentiële groei

N=b⋅g​t​​

b= 2,22 miljoen

op 1-1-2017 2,22 miljoen

ieder jaar +1,9%

wanneer voor het eerst meer dan 3 miljoen? 

g=​100​​101,9​​=1,019

t=?

N=2,22⋅1,019​t​​

2017+16=2033

Dus op 1-1-2033 is het voor het eerst meer dan 3 miljoen

t=15	N= 2,944...
t=17	N=3,057...
t=16	N=3,000...

Exponentiële groei

€850 

ieder jaar -17%

na 4 jaar? 

€850
ieder jaar -17%
na 4 jaar?

Exponentiële groei

N=b⋅g​t​​

b= €850

€850 

ieder jaar -17%

na 4 jaar? 

g=​100​​83​​=0,83

t=4

N=850⋅0,83​4​​=403,395...

Dus na 4 jaar is het ongeveer €403

Tabellen en groei

​2500​​3125​​=1,25

Als de toename exponentiëel is, is het getal onder iedere keer met dezelfde factor vermenigvuldigd. Als de delingen hetzelfde zijn, is de toename exponentiëel.

t	0	1	2	3	4
N	1280	1600	2000	2500	3125

​2000​​2500​​=1,25

​1600​​2000​​=1,25

​1280​​1600​​=1,25

Alle delingen zijn gelijk dus er is exponentiële toename

Tabellen en groei

​2500​​3125​​=1,25

De formule die bij de tabel hoort is: 

t	0	1	2	3	4
N	1280	1600	2000	2500	3125

​2000​​2500​​=1,25

​1600​​2000​​=1,25

​1280​​1600​​=1,25

N=1280⋅1,25​t​​

Letter beneden

het getal onder de 0 in de tabel

de groeifactor (de deling van de getallen)

de letter bovenin de tabel

Lineaire of exponentiële groei

t	0	1	2	3
N	50	60	72	86,4

t	0	1	2	3
N	8	12	16	20

Welke verband hoort bij de tabel?

lineair

exponentieel

Lineaire en exponentiele groei

​72​​86,4​​=1,2

Er komst steeds 4 bij dus lineaire groei

t	0	1	2	3
N	50	60	72	86,4

N=50⋅1,2​t​​

t	0	1	2	3
N	8	12	16	20

​60​​72​​=1,2

​50​​60​​=1,2

​16​​20​​=1,25

​12​​16​​=1,333...

Geen exponentiële groei.

N=8+4⋅t

Interpoleren en extrapoleren

jaar	1997	2001	2005	2017
aantal	3052	4163	4955	5211

Interpoleren: bij een serie waarnemingsgetallen een
                          tussenliggende waarde schatten

Extrapoleren: bij een serie waarnemingsgetallen een
                          waarde schatten die buiten de serie getallen ligt

Hoeveel waren er in 2000?

Interpoleren en extrapoleren

jaar	1997	2001	2005	2017
aantal	3052	4163	4955	5211

4163−3052=1111

Tussen 1997 en 2001

per jaar

in 3 jaren

dus in 2000

1111:4=277,75

277,75×3=833,25

3052+833,25=3883,25

dus in 2000 zijn er ongeveer 3883

Hoeveel waren er in 2020?

Interpoleren en extrapoleren

jaar	1997	2001	2005	2017
aantal	3052	4163	4955	5211

5211−4955=256

Hoeveel zijn er in 2020?

Tussen 2005 en 2017

per jaar

in 3 jaren

dus in 2020

256:12=21,333...

21,333...×3=64

5211+64=5275

dus in 2020 zijn er ongeveer 5275

Machtsfuncties

f(x)=ax​n​​

met a en n zijn géén 0

Machtsfuncties

bvf(x)=3x​4​​

bvf(x)=5x​3​​

bvf(x)=−2x​6​​

bvf(x)=−x​3​​

1. a positief, n even
2. a positief, n oneven
3. a negatief, n even
4. a negatief, n oneven

1. a positief, n even
2. a positief, n oneven
3. a negatief, n even
4. a negatief, n oneven

1. a positief, n even
2. a positief, n oneven
3. a negatief, n even
4. a negatief, n oneven

1. a positief, n even
2. a positief, n oneven
3. a negatief, n even
4. a negatief, n oneven

Machtsfuncties

x​4​​=28∣x=​4​​√​28​​​∨x=−​4​​√​28​​​

x​7​​=100∣x=​7​​√​100​​​

x​6​​=0∣x=0

x​7​​=0∣x=0

x​3​​=−27∣x=​3​​√−27

Omgekeerd evenredig verband

- x keer y is altijd hetzelfde (a)

-in de formule deel je een getal door x

y=​x​​a​​

Omgekeerd evenredig verband

1 persoon doet er 12 uur over

2 personen doen er 6 uur over

3 personen doen er 4 uur over.....

Er moeten vakken gevuld wordenin de supermarkt. In totaal is er 12 uur werk. x=aantal mensen y=aantal uren

x	1	2	3	4	6	12
y	12	6	4	3	2	1

y=​x​​12​​

In deze les heb je geleerd...

...wat exponentiële is

...hoe je rekent met exponentiële groei

...wat het verschil is tussen lineaire en exponentiële groei

...wat interpoleren en extrapoleren is

...werken met periodieke verbanden

...rekenen met machtsfuncties

...de formule bij een omgekeerd evenredig verband

Noem twee dingen die je in deze les geleerd hebt

Wat snap je nog niet zo goed
van deze les?