Beweging: plaats, snelheid en versnelling

• Natuurkunde
• Middelbare school
• havo, vwo
• Leerjaar 4-6

Lesdoelen

-Je kunt informatie halen uit een x,t en v,t diagram

-Je snapt wat de vorm / steilheid van een grafiek betekent
-Je kunt omrekenen van km/h naar m/s en andersom

-Je kunt werken met (de formule van) snelheid en versnelling

-Je kunt werken met de raaklijn-methode

-Je kunt werken met de oppervlakte-methode

-Je kent de eerste twee wetten van Newton en snapt hun relevantie

-Je kent de basisprincipes van modelleren, in ieder geval met een vrije val

Einddoel

Examen VWO 2013 - tijdvak II

Mogelijke vragen

-Bepaal de gemiddelde snelheid gedurende de 'pull'.

-Bepaal gemiddelde versnelling van t = 4 s tot t = 8 s.

-Bepaal de versnelling op t = 16 s.

-Bereken de verplaatsing gedurende de gehele 'pull'. 

-Bepaal de voorwaartse kracht op tijdstip t = 6 s.

(Voor sommige vragen heb je meer gegevens uit de som nodig)

Overzicht grootheden en eenheden

Overzicht formules (Binas 35A)

Plaats - tijd diagram

Symbolen x (m) en t (s).

Horizontale lijn: stilstand.

Stijgende of dalende lijn: snelheid.

Rechte lijn: constante snelheid.
Kromme lijn: veranderende snelheid.

Hoe steiler de lijn, hoe groter de snelheid.

(Voorwaarde: de t staat op de horizontale as)

Afspraak: positieve waarden betekent 'naar voren'.

Horizontale lijn

Een horizontale lijn in een x,t-diagram betekent stilstand.

De snelheid is dan 0 m/s.

Kromme lijn

Een steeds minder steil lopende lijn betekent een afnemende snelheid. De lijn stijgt nog steeds, dus de beweging is nog wel vooruit.

Rechte lijn

Een rechte, niet horizontale lijn betekent een constante snelheid.
De lijn stijgt, dus het is een beweging vooruit.

[WS]

http://www.wetenschapsschool.nl/chapter/Beweging_0_xt.html

Welke beweging is hiernaast rood gemarkeerd?

1. Stilstand.
2. Constante snelheid.
3. Versnelling.
4. Vertraging.

Welke beweging is hiernaast rood gemarkeerd?

1. Stilstand.
2. Constante snelheid.
3. Versnelling.
4. Vertraging.

Snelheid

De gemiddelde snelheid is de verandering van plaats
gedeeld door de verandering van tijd.

De constante of gemiddelde snelheid

Bij een constante of gemiddelde snelheid gebruik je  

de formule met twee punten op de grafiek zelf.

De snelheid op één punt
Bij een veranderende snelheid teken je de raaklijn

op één punt in de grafiek.
Je gebruikt daarna twee punten van de raaklijn.

v​gem​​=​Δt​​Δx​​

[WS]

http://www.wetenschapsschool.nl/chapter/Beweging_1_Snelheid.html

Constante / gemiddelde snelheid

Wanneer de snelheid constant is of wanneer je de gemiddelde snelheid wilt weten,
vul je eenvoudigweg 2 punten in de formule in. 

Constante snelheid

Voor de constante snelheid in de eerste vier seconden geldt:

v = Δx/Δt = (8,0-0,0)/(4,0-0,0) = 8/4 = 2,0 m/s

Gemiddelde snelheid

Voor de gemiddelde snelheid van de hele beweging geldt:

v = Δx/Δt = (8,0-0,0)/(12,0-0,0) = 8/12 = 0,67 m/s

v​gem​​=​Δt​​Δx​​

Dé snelheid op één punt: raaklijn-methode

In onderstaand voorbeeld verandert de snelheid (steilheid x,t-diagram) voortdurend.
Om de snelheid in punt A te vinden, trek je daar eerst een raaklijn. Van deze raaklijn bepaal je dan de Δx en Δt. In het voorbeeld v_A =  Δx/Δt = (4,8 - 0,8) / (6,0-0,0) = 4,0/6,0 = 0,67 m/s.

v​gem​​=​Δt​​Δx​​

Rekenen met snelheid

In de natuurkunde is de juiste eenheid voor snelheid meter per seconde (m/s).
Een veelvoorkomende omrekening is van en naar km/h.

40 km/h = 40000 m / 3600 s  = 40000/3600 = 11,11 = 11 m/s.

In één stap: 40 km/h = 40/3,6 = 11,11 = 11 m/s

Andersom: 18 m/s = 18 x 3,6 = 64,8 = 65 km/h

Van km/h naar m/s geldt: gedeeld door 3,6.

Van m/s naar km/h geldt: maal 3,6.

Tip!

Weet je niet meer zeker of het met de factor 3,6 vermenigvuldigen of delen is? Neem als voorbeeld een wandelsnelheid van 3 km/h. Dit is rustig wandelen. Reken nu om naar m/s. Als je de verkeerde manier gebruikt, komt er ruim 10 m/s uit wat zeker geen wandelen meer is!

[WS]

http://www.wetenschapsschool.nl/chapter/Beweging_2_Rekenen+met+snelheid.html

Reken om (uitwerkingen op de volgende slide):
a) 80 km/h = ... m/s
b) 18 m/s = ... km/h
c) 100 m/h = ... m/s
d) 12 km/min = ... m/s

Uitwerkingen

a) 80 / 3,6 = 22,22 = 22 m/s

b) 18 x 3,6 = 64,8 = 65 km/h

c) 100 m / h = 100 m / 3600 s = 0,02777 = 0,0278 m/s

d) 12 km / min = 12 10³ m / 60 s = 200 = 2,0 10² m/s

Reken om:

a) 80 km/h = ... m/s

b) 18 m/s = ... km/h

c) 100 m/h = ... m/s

d) 12 km/min = ... m/s

Snelheids - tijd diagram

Symbolen v (m/s) en t (s).

Horizontale lijn: constante snelheid.

Schuine / kromme lijn: versnellen of vertragen.

Rechte lijn: constante versnelling of vertraging.

Hoe steiler de lijn, hoe groter de versnelling of vertraging.

Positieve snelheid: verplaatsing (Δx of s) naar voren.

Negatieve snelheid: verplaatsing (Δx of s) naar achteren.

Wanneer de waarde van de snelheid groter (+ of -) wordt, spreek je van een versnelling.

Wanneer de waarde van de snelheid kleiner (+ of -) wordt, spreek je van een vertraging.

[WS]

https://wetenschapsschool.nl/chapter/Beweging_3_vt.html

Oefenen x,t en v,t

Op wetenschapsschool kun je 

oefenen met het herkennen van 

x,t- en v,t-diagrammen!

Opgave 3 van paragraaf 'vt'.

De beweging van een voorwerp dat hiernaast wordt beschreven met een v,t-diagram voert op t = 0,2 s uit...

1. stilstand
2. constante snelheid
3. versnelling
4. vertraging

De beweging van een voorwerp dat hiernaast wordt beschreven met een v,t-diagram voert op t = 0,6 s uit...

1. stilstand
2. constante snelheid
3. versnelling
4. vertraging

De beweging van een voorwerp dat hiernaast wordt beschreven met een v,t-diagram voert op t = 0,9 s uit...

1. stilstand
2. constante snelheid
3. versnelling
4. vertraging

Uitwerking

Op t = 0,2 s neemt de (positieve) snelheid af.
Het voorwerp vertraagt.

Op t = 0,6 s neemt de (negatieve) snelheid toe.

Het voorwerp versnelt.

Op t = 0,9 s neemt de (negatieve) snelheid af.

Het voorwerp vertraagt.

Verband v,t en x,t

Het voorwerp begint met positieve snelheid,

de plaats van het voorwerp neemt dus toe.

De snelheid neemt af, de grafiek van de plaats

loopt steeds minder steil (maar neemt toe).

Op een gegeven moment is de snelheid 0 m/s (t = 0,4 s),

de grafiek van de plaats loopt dan even horizontaal (stilstand).

DE BEWEGING DRAAIT NU OM / GAAT DE ANDERE KANT OP.

De snelheid wordt dan negatief, de plaatsfunctie is dalend.
De (negatieve) snelheid neemt toe, de plaatsfunctie loopt steeds steiler.

Op t = 0,8 neemt de (negatieve) snelheid weer af,

 de plaatsgrafiek loopt dan weer minder steil.

Aan het eind van de beweging is de snelheid 0. De plaatsfunctie loopt horizontaal.

Situatie

Deze grafieken zouden kunnen zijn van een voorwerp dat met een snelheid van 4 m/s recht omhoog gegooid wordt vanaf een hoogte van 0,30 m. Het voorwerp komt dan tot 1,1 m hoog, waarna het weer naar beneden valt.  Op t = 0,80 valt het voorwerp op een soort kussen waarna het precies op de grond (x = 0 m) tot stilstand komt.

Oppervlaktemethode

De oppervlakte onder een snelheids-tijd diagram stelt de verplaatsing Δx voor.
Oppervlakte = lengte x breedte = tijd x snelheid = verplaatsing! (Let op:  eenheid wordt dus 'm')
Rechte lijnen kan je met de oppervlakte van een rechthoek en een driehoek uitrekenen.
Bij kromme lijnen tel je de hokjes en 'halve' hokjes van het grafiekenvel (mag dus iets afwijken).

De schaalverdeling bepaalt de waarde

van één hokje. In het voorbeeld hiernaast is
elk hokje 0,5 s x 0,5 m/s = 0,25 m waard. (géén sign)

Let op: bij negatieve snelheden is de verplaatsing

de andere kant op! Dezelfde oppervlakte = dezelfde verplaatsing.

[WS]

https://wetenschapsschool.nl/chapter/Beweging_4_Oppervlaktemethode.html

Hoeveel is de oppervlakte van één hokje waard in de grafiek hiernaast?

1. 2,0 s
2. 0,20 m/s
3. 0,40 m
4. 0,080 m

Hoeveel is de oppervlakte van één hokje waard in de grafiek hiernaast?

1. 2,0 m
2. 8,0 m
3. 10 m
4. 20 m

Gemiddelde snelheid

Altijd te berekenen met de formule hiernaast.

Wanneer de snelheid gelijkmatig toe- of afneemt (constante versnelling), 

dan kan je ook deze formule gebruiken. De gemiddelde snelheid

is de (beginsnelheid + de eindsnelheid) gedeeld door 2.

In een v,t-diagram teken je de gemiddelde snelheid als
een horizontale lijn. De oppervlakte onder en boven de lijn
van de gemiddelde snelheid ten opzichte van de
werkelijke snelheid moet dan gelijk zijn! In de figuur hiernaast is 

voor de periode van t = 1 tot t = 5 de gemiddelde snelheid getekend.

[WS]

https://wetenschapsschool.nl/chapter/Beweging_5_Gemiddelde+snelheid.html

v​gem​​=​Δt​​Δx​​

v​gem​​=(​2​​v​b​​+v​e​​​​)

Hiernaast een beweging die van
v = 10 m/s toeneemt naar
v = 50 m/s en daarna weer afneemt. Welke horizontale lijn geeft het best de gemiddelde snelheid weer?

1. Die van v = 10 m/s
2. Die van v = 30 m/s
3. Die van v = 40 m/s
4. Die van v = 50 m/s

Hiernaast dezelfde beweging. Getekend is de horizontale lijn van v = 40 m/s als gemiddelde snelheid. Deze waarde voor de gemiddelde snelheid...

1. ... is iets te hoog geschat
2. ... is precies goed geschat
3. ... is iets te laag geschat
4. ... daar kan ik niets zinnigs over zeggen

Versnelling

De versnelling (a van acceleration) geeft aan hoe de snelheid in de tijd verandert.
De eenheid van versnelling is meter per seconde kwadraat (m/s²).

Voor een constante of gemiddelde versnelling geldt deze formule:

Een versnelling van 5 m/s² betekent dat van het voorwerp per één seconde, 

de snelheid met 5 m/s verandert.

Voor de versnelling op één tijdstip pas je de raaklijnmethode op een v,t-diagram toe.

De oorzaak van versnelling is een (resulterende) kracht. Er geldt: 

Hierin is Fres de kracht (in N), m de massa (in kg) en a de versnelling (in m/s²)

a​gem​​=​Δt​​Δv​​

F​res​​=m.a

[WS]

https://wetenschapsschool.nl/chapter/Beweging_6_Versnelling.html

https://www.khanacademy.org/science/physics/one-dimensional-motion/acceleration-tutorial/a/acceleration-article

Oefening in Kahoot.

Verschillende bewegingen

Stilstand (geen snelheid, geen versnelling)
->  x,t diagram horizontale lijn

Eenparige beweging (constante snelheid, geen versnelling)

-> x,t diagram rechte lijn (stijgend of dalend) - v,t diagram horizontale lijn

Eenparig versnelde / vertraagde beweging (veranderende snelheid, constante versnelling)

-> x,t diagram kromme  - v,t diagram rechte lijn (stijgend of dalend) - a,t diagram horizontale lijn  

Versnelde / vertraagde beweging (veranderende snelheid, veranderende versnelling)

-> x,t diagram kromme - v,t diagram kromme - a,t diagram niet-horizontale lijn

Valversnelling

Wanneer iets valt onder invloed van alleen de zwaartekracht (de wrijvingskrachten -en andere krachten- worden verwaarloosd), heet dit een vrije val.

De versnelling die (elk voorwerp) dan ondervindt is altijd hetzelfde, en in Nederland 9,81 m/s².

Op andere planeten geldt een andere waarde voor deze valversnelling.
                                                                                                                    Deze vind je in de BINAS tabel 31.

Het symbool voor valversnelling is g.
Op aarde, in Nederland, geldt dus: g = 9,81 m/s².

De formule voor de zwaartekracht is Fz = m g.
Hierin is Fz de zwaartekracht in N, m de massa in kg en g als hierboven.

[WS]

https://wetenschapsschool.nl/chapter/Beweging_8_De+valversnelling.html

Grote vrije val (video)

https://www.youtube.com/watch?v=E43-CfukEgs

Een parachutist meet zijn snelheid tijdens het begin van zijn sprong, en ziet deze in 5,0 seconden toenemen van 30 km/h naar 190 km/h.
Bereken de versnelling van deze persoon en leg uit of hij een (merkbare) wrijvingskracht heeft ondervonden.

Uitwerkingen

0. a = ? m/s²
1.  a = Δv / Δt

2. v1 = 30 km/h = 8,333...m/s    v2 = 190 km/h = 52,7777.. m/s

     (Δ)t = 5,0 s

3.  Δv = 52,777... - 8,333.. = (+) 44,44.. m/s

      a = Δv / Δt = 44,44.. / 5,0 = 8,88888

4.  a = 8,9 m/s²

Bij een vrije val is de versnelling 9,81 m/s². De versnelling is hier

lager, dus er is hier wel sprake van (lucht)wrijvingskracht.

Een parachutist meet zijn snelheid tijdens het begin van zijn sprong, en ziet deze in 5,0 seconden toenemen van 30 km/h naar 190 km/h.

Bereken de versnelling van deze persoon en leg uit of hij een (merkbare) wrijvingskracht heeft ondervonden.

(Resulterende) kracht

Kracht heeft als symbool F (Force) en als eenheid Newton (N).

Een bekende kracht is de zwaartekracht: Fz = mg.

Hierin is m de massa in kg en g de valversnelling 9,81 m/s² (in Nederland).

Andere krachten zijn bijv. spierkracht en (lucht)wrijvingskracht.

[WS]

https://wetenschapsschool.nl/chapter/Kracht_2_Resulterende+kracht.html

(Resulterende) kracht

Wanneer er meerdere krachten in het spel zijn, kan je die samenvoegen tot de resulterende kracht (Fr).

Deze Fr bepaalt uiteindelijk de optredende versnelling (Fr = m a).
Let op dat je de massa hier in kg gebruikt!

[WS]

https://wetenschapsschool.nl/chapter/Kracht_2_Resulterende+kracht.html

Wetten van Newton

1e wet: wanneer de resulterende kracht op een voorwerp 0 is, dan verandert de snelheid niet (van grootte en/of richting). De snelheid is dus constant (kan ook constant 0 m/s zijn).

2e wet: wanneer er wel een resulterende kracht op een voorwerp werkt, ondervindt dit voorwerp een versnelling afhankelijk van de kracht en zijn massa volgens: a = Fr/m  (ook wel: Fr = m a)

[WS]

1e wet

2e wet

Een auto van 850 kg rijdt met een constante snelheid van 45 km/h. Hij ondervindt een rolwrijvingskracht van 0,12 kN en een luchtwrijvingskracht van 1,1 kN. Plotseling steekt er een kind over. Bij het remmen ondervindt de auto een constante totale remkracht (incl de Fwrijving) van 6,2 kN. De reactietijd van de bestuurder is 0,75 s.

A. Bereken de motorkracht voordat het kind overstak.

B. Bereken de stopafstand in deze situatie (de afstand die afgelegd is vanaf het tijdstip dat het kind overstak, tot het tijdstip dat de auto stilstaat).

Uitwerking

A. 

De snelheid is constant. Volgens de 1e wet van Newton werkt er dan geen resulterende kracht op de auto. De motorkracht moet dan precies gelijk zijn aan de totale tegenwerkende wrijvingskrachten.
Fm = Fw,r + Fw,l = 0,12 kN + 1,1 kN = 1,22 = 1,2 kN (1 decimaal significantie)

B.
Voor de reactieafstand geldt (constante snelheid): Δx = v.Δt = (45/3,6) x 0,75 = 9,375 m (9,4 m  - 2 significant)

De vertraging die er bij het remmen optreedt is (2e Newton) a = Fr/m = 6,2 10^3 / 850 = 7,29... m/s² (7,3 m/s² - 2 significant)

De snelheidsverandering tijdens het remmen is Δv = ve-vb = 0 - 12,5 = - 12,5 m/s (negatief dus vertraging, -13 m/s  - 2 significant)

Het remmen duurt dan  a = Δv/Δt -(maal Δt)-> a Δt = Δv --> Δt = Δv / a = -12,5/7,29... = 1,713... s (1,7 s  - 2 significant)

De gemiddelde snelheid tijdens het remmen is vg = (vb+ve)/2 = (12,5  + 0)/2 = 6,25 m/s (6,3 m/s  - 2 significant) 

De verplaatsing tijdens het remmen is dan Δx = vg.Δt = 6,25 . 1,713.... = 10,71.. m (11 m - 2 significant)

De totale stopafstand is 9,375 (9,4) + 10,71... (11) = 20,08... = 20 m (0decimalen, want plus)
 

Als je nog iets niet begreep, geef dat dan zo duidelijk mogelijk aan.

Hieronder kun je je opmerkingen en vragen kwijt over deze les. Vind je fouten of heb je een geniale aanvulling: dan verdien je natuurlijk bonuspunten!