H14 Quantumwereld - deel 2

Leerdoel 4

deeltje in een doos

Je kan quantumverschijnselen beschrijven in termen van de opsluiting van een deeltje in een ééndimensionale energieput. Hierbij kan je met behulp van de debroglie-golflengte inschatten of er quantumverschijnselen zijn te verwachten. Zowel van een deeltje in een ééndimensionale energieput als van het waterstofatoom kan je de mogelijke energieën berekenen.

Begrippen:
bohrstraal, nulpuntsenergie

De energie van gebonden deeltjes, zoals een elektron in een atoom, is gequantiseerd. 

Energieniveaus kunnen voor waterstof berekend worden met het model van Bohr. En voor elektronen die vrij kunnen bewegen in een lang molecuul met het deelje in een ééndimensionale energieput model. 

Deeltjes kunnen slechts bepaalde hoeveelheden energie hebben. En dit kan alleen sprongsgewijs veranderen.

Het atoommodel van Bohr

Het elektron beweegt met een bepaalde snelheid in een bepaalde cirkelbaan rond de kern. 

Klopt het model van Bohr wel?

Volgens de onzekerheidsrelatie van Heisenberg is er een onzekerheid in impuls en plaats. Een exacte golflengte op een exacte afstand van de kern is dus niet mogelijk.

Aan de slag

Werken aan leerdoel 4- volgens de studiewijzer

Vandaag is het les .... 

Bij aanvang van les ... lever je de check van leerdoel 4 in.

4, 

Deeltje in een ééndimensionale put

Deeltje in een put

• Put groot t.o.v. de kansgolf van het deeltje: De kansgolf botst heen en weer  in het doosje alsof het een deeltje is.
  
  
• Put klein t.o.v. de kansgolf: golf
  reflecteert tegen de wanden, interfereert met zichzelf wat leidt tot staande golf met knopen en buiken.
  

Deeltje in een put

Model voor elektron dat beweegt in een lang molecuul of door een hele dunne draad (beweging in één richting).

Model geeft de waarschijnlijkheidsverdeling van het deeltje aan.

Versimpeld model, in werkelijkheid zijn deeltjes niet opgesloten in ‘dozen’ waarin ze alleen op en neer kunnen bewegen. Quantumgolven zijn dan anders, gecompliceerder.

De energieniveau's zijn gequantiseerd. 

grondtoestand: nulpuntsenergie

Het elektron in het doosje kan niet zomaar elke kinetische energie en dus niet elke snelheid kan aannemen

Alleen de waarden die overeenkomen met de staande golven zijn mogelijk. 

De energie is gekwantiseerd (heeft een vaste hoeveelheid).

Zelfs in grondtoestand heeft het deeltje nog energie → nulpuntsenergie

Klein atoom, grote energie

Grotere atomen en moleculen kunnen licht
absorberen en eventueel weer uitzenden
met grotere golflengtes dan kleine atomen
en moleculen.

Leg uit dat: Des te kleiner een atoom, des te groter de energie van de grond- en eerste aangeslagen toestand.

Kleiner atoom —> kleinere maximale golflengte —> groter impuls —> Ek groter 

Quantumeffecten in grotere voorwerpen...

Zijn niet waarneembaar wanneer de afmeting van het voorwerp veel groter is dan de debroglie-golflengte van de deeltjes.

Welk quantum effect is niet meer waarneembaar wanneer de ruimte te groot is? Het gequantificeerd opnemen van energie

Want in een energieput zitten meerdere deeltjes (max. twee per quantumtoestand). Er zijn vele verschillende golflengtes van de vele deeltjes in de put waardoor de mogelijke energiesprongen zo klein zijn dat die niet gequantiseerd zijn.

Aan de slag

Werken aan leerdoel 4- volgens de studiewijzer

Vandaag is het les .... 

Bij aanvang van les ... lever je de check van leerdoel 4 in.

4, 

E​n​​=​8⋅m⋅L​2​​​​h​2​​​​⋅n​2​​

Begrippen: energieniveau’s, grondtoestand, aangeslagen toestand

De vergelijking afleiden

λ=​n​​2L​​

λ=​m⋅v​​h​​

E​n​​=E​k​​

E​n​​=​8⋅m⋅L​2​​​​h​2​​​​⋅n​2​​

Bij het deeltje in doos model wordt aangenomen dat een deeltje alleen kinetische energie heeft. In werkelijkheid heeft een deeltje ook elektrische energie.

En; energie van een staande quantumgolf.

Voorbeeldopgave

Waarom zijn wortels oranje?

De oranje kleur wordt veroorzaakt door betacaroteen (zie afbeelding).

Over een lengte van 2,5nm kunnen 22 elektronen bewegen (als een deeltje in een put). 

ΔE = (122 - 112) ꞏ h2 / (8mꞏL2) = (144-121) ꞏ h2 / (8mꞏL2) = 23 ꞏ h2 / (8mꞏL2) = = 2,22ꞏ10-19 J

f = ΔE / h = 2,22ꞏ10-19 / (6,63ꞏ10-34) = 3,35ꞏ1014 Hz

Kleuren met een frequentie groter dan 3,35*10¹⁴ kunnen niet worden geabsorbeerd voor betacaroteen en worden dus gereflecteerd. 

Aan de slag

Werken aan leerdoel 4- volgens de studiewijzer

Vandaag is het les .... 

Bij aanvang van les ... lever je de check van leerdoel 4 in.

4, 

E​n​​(eV)=−​n​2​​​​13,6​​

Afleiding formule van Bohr

op de juiste volgorde leggen.

Bereken de golflengte van het foton dat vrijkomt bij de overgang van n=3 naar n=1.

Aan de slag

Werken aan leerdoel 4- volgens de studiewijzer

Vandaag is het les .... 

Bij aanvang van les ... lever je de check van leerdoel 4 in.

4, 

Afleiden formule van Bohr

Waarom een grondtoestand?

Ek + El < 0

Grote golflengte past niet diep in de put.

Kleine golflengte 

—> impuls groot 

—> Ek groot 

Wanneer Ek + Eel > 0 ; elektron niet meer gebonden aan de atoomkern; ionisatie

Leerdoel 5

Je kan het quantum-tunneleffect beschrijven aan de hand van een eenvoudig model en daarbij aangeven hoe de kans op

tunneling afhangt van de massa van het deeltje, de hoogte en breedte van de energiebarrière.

minimaal in de contexten: Scanning Tunneling Microscope (STM), alfaverval

Het tunnel effect

Klassieke mechanica 

VS
quantum mechanica 

Barriere is bijv. een elektrisch veld (Ee). Of een kernkracht.

Voorbeeld van tunneling: een elektron dat ontsnapt uit een metaal zonder dat het genoeg energie heeft  gekregen.

De kans op tunneling hangt af van:

• hoogte barrière 
• breedte barrière 
• energie deeltje
• massa deeltje

Hoogte barriere 🡪 sterkte van het elektrisch veld

Breedte barriere 🡪 uitgebreidheid elektrisch veld (afstand waarover de kracht werkt)

Kleinere massa 🡪 grotere debrogliegolflengte, deze strekt zich daardoor verder uit buiten de barriere 

Waarschijnlijkheidsverdeling geldt alleen voor opgesloten deeltjes, dus niet meer zodra het deeltje is 'ontsnapt' uit de put. 

Aan de slag

Werken aan leerdoel 5 - volgens de studiewijzer

Vandaag is het les .... 

Bij aanvang van les ... lever je de check van leerdoel 5 in.

4, 

02:06

Door de afstand tussen de tip en het materiaal te verkleinen wordt de ... verkleind.

1. breedte van de barrière
2. hoogte van de barrière
3. energie van het deeltje
4. massa van het deeltje

Scanning tunneling microscope

Stroomsterkte is afhankelijk van de afstand tussen het oppervlak en de naald (breedte van de barrière). De stroom wordt constant gehouden waardoor de positie van de naald het oppervlak van het materiaal in beeld brengt.

De halveringstijd verklaren

alfaverval

Barriere: kernkracht (alleen op korte afstand; smalle put) wanneer het alfa deeltje in de kern zit. 

Buiten de barrière (helling) afstotende kracht (elektrische kracht).

Waar is de halveringstijd van afhankelijk? De energie van het alfadeeltje, zie binas; grotere energie alfadeeltje, kleinere halfwaardetijd.

Aan de slag

Werken aan leerdoel 5 - volgens de studiewijzer

Vandaag is het les .... 

Bij aanvang van les ... lever je de check van leerdoel 5 in.

4, 

Oefenopgave

Atoomkernen zwaarder dan lood-208 ondergaan alfaverval. Bij alfaverval breekt een heliumkern vrij van de atoomkern. In de onderstaande afbeelding zien we een vereenvoudigd model van de energiebarrière van de atoomkern.

Uit experimenteel onderzoek blijft dat de tunnelkans exponentieel toeneemt als de kinetische energie van het alfadeeltje groter wordt.
Geef twee redenen waardoor dit het geval is. Ga ervan uit dat beide deeltjes niet genoeg energie hebben om zonder tunneling de atoomkern te verlaten.

Een alfadeeltje is een helium-4-kern, dus bestaat uit twee protonen en twee neutronen. De

massa is:

m = 4 x 1,66 x 10 -27 kg = 6,64 x 10 -27 kg

De kinetische energie van het deeltje vinden we in tabel 25. Dit is gelijk aan 8,776 MeV. In

joule wordt dit:

E kin = 8,776 x 10 6 x 1,6 x 10 -19 = 1,4 x 10 -18 J

λ = h / p

Met E k = p 2 /(2m) vinden we:

λ = h / √(2mE k )

 λ = 6,6 x 10 -34 / √(2 x 4 x 1,66 x 10 -27 x 1,4 x 10 -12 ) = 4,85 x 10 -15 m

Hiernaast zien we een alfadeeltje dat uit een Polonium-212 kern tunnelt. Bereken de debrogliegolflengte van het een alfadeeltje als het net ontsnapt is. Gebruik hiervoor BINAS tabel 25.

Een alfadeeltje is een helium-4-kern, dus bestaat uit twee protonen en twee neutronen. De

massa is:

m = 4 x 1,66 x 10 -27 kg = 6,64 x 10 -27 kg

De kinetische energie van het deeltje vinden we in tabel 25. Dit is gelijk aan 8,776 MeV. In

joule wordt dit:

E kin = 8,776 x 10 6 x 1,6 x 10 -19 = 1,4 x 10 -18 J

λ = h / p

Met E k = p 2 /(2m) vinden we:

λ = h / √(2mE k ) λ = 6,6 x 10 -34 / √(2 x 4 x 1,66 x 10 -27 x 1,4 x 10 -12 ) = 4,85 x 10 -15 m

Oefenopgave herhaling

https://staff.fnwi.uva.nl/c.g.vanweert/Lesmateriaal/Quantumwereld_MathJax_W3/Text/voorbeeldtoetsopgave_blue.html