H9: Exponentiële groei

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 5

Exponentiële verbanden

Wat ga je vandaag leren

Je kunt de formule opstellen van een lineair verband

Je herkent de formule van een exponentieel verband

Lineair: y = ax + b

Stel de formule op van de lineaire lijn tussen punt A (5, 130) en B(8, 190)

Stap 1: Bereken a met behulp van 

Stap 2: Vul alle bekende waarden (a, x en y) in de standaardvorm (y = ax+b) in. 

Stap 3: Bereken b en geef de formule

​Δx​​Δy​​=​x​b​​−x​a​​​​y​b​​−y​a​​​​

Exponentieel verband: 

Kenmerk exponentieel verband: elke stap keer hetzelfde.

b: beginwaarde

g: groeifactor (3 decimalen), altijd groter dan 0

g < 1 en g > 1

N=b⋅g​t​​

Corona

Op 27 september 2021 ligt de groeifactor van het aantal coronabesmettingen op 0,912. Het aantal besmettingen die dag staat op 1411. Wat is hierbij de exponentiële formule?

Aan de slag

Paragraaf 9.1, opdracht 3, 6, 8, 10

Voorkennis naar behoefte zelfstandig

Tabellen en grafieken bij exponentiële groei

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt van een tabel aantonen of deze hoort bij exponentiële groei.

Je kunt rekenen met de formule van een exponentieel verband en benoemen hoe de grafiek eruitziet.

Toon aan dat deze tabel bij een exponentieel verband hoort.

Grafieken bij exponentiële groei

Zelf aan de slag

13, 14, 19

Groeifactor en groeipercentage

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt een groeifactor omzetten in een groeipercentage en andersom.

Je kunt berekeningen uitvoeren aan de hand van groeipercentages of groeifactoren.

Groeipercentage en groeifactor

Groeipercentage: wat komt erbij (bv 20%)

Groeifactor: waarmee vermenigvuldig je (bv 1,2)

Welke groeifactor hoort er bij:

a) een toename van 2%

b) een toename van 200%

c) een afname van 12% 

d) een afname van 0,3%

Uitwerkingen

a) 1,02                     

b) 3

c) 0,88 

d) 0,997

Voorbeeldvraag

In maart 2000 waren er nog 250.000 kievieten in Nederland. Dat aantal neemt elk jaar met 4,5% af. In maart van welk jaar zijn er voor het eerst nog maar 100.000 kievieten in Nederland?

Uitwerking

Stap 1. Bereken de groeifactor: 

Stap 2. Stel de formule op:

Stap 3. Voer de formule en y2 = 100.000 in op de GR.

Stap 4. Optie intersect geeft x = 19,9. Dus in maart 2020

N=250.000⋅0,955​t​​

​100​​100−4,5​​=0,955

Zelf aan de slag

24, 26, 27, 28, 29

Verdubbelingstijd en Halveringstijd

Wat ga je vandaag leren?

Je kent het begrip verdubbelingstijd en halveringstijd.

Je kunt aan de hand van een groeipercentage of groeifactor de verdubbelingstijd of halveringstijd berekenen.

Exponentieel verband

Stel de beginhoeveelheid is 100. Waar moet je mee vermenigvuldigen als je je beginhoeveelheid wil verdubbelen?

Waar moet je mee vermenigvuldigen om je beginhoeveelheid te halveren?

N=b⋅g​t​​

Verdubbelingstijd en halveringstijd

Verdubbelingstijd: hoe lang het duurt voordat een hoeveelheid verdubbelt. 

In formulevorm de 't' waarvoor geldt dat 

Halveringstijd: hoe lang het duurt voordat een hoeveelheid halveert. 

In formulevorm de 't' waarvoor geldt dat 

g​t​​=2

g​t​​=0,5

Bijvoorbeeld

Maike heeft het onkruid in haar tuin behandeld met een bestrijdingsmiddel. Elke week neemt het onkruid met 4% af. 

Na hoeveel weken is de helft van het onkruid weg? 

Als Maike 3 weken op vakantie gaat, is het onkruid weer met 50% toegenomen. Wat is de groeifactor van het onkruid per week?

Zelf aan de slag

34, 35a, c, 40, 41

Groeifactoren omzetten

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt een groeipercentage omzetten in een andere tijdseenheid.

Groeipercentages omzetten

Als een hoeveelheid elke week met 1,2% toeneemt, wat is dan de toename na 4 weken?

Als een hoeveelheid elk jaar met 8% afneemt, wat is dan de afname per half jaar?

Zelf aan de slag

45, 48, 49, 52

Een exponentiële formule opstellen

Wat gaan we vandaag doen

Herhalen lineair verband

Leren hoe je een exponentieel verband opstelt

Y = ax + b

Een lijn gaat door de punten (4, 12) en (8, 62). Stel hierbij een formule op.

Exponentiële formule opstellen

Een exponentieel verband gaat door de punten (4, 12) en (8, 62). Stel hierbij een formule op.

Exponentieel stappenplan

Stap 1: Bereken de totale groeifactor met 

Stap 2: Bereken de groeifactor per tijdseenheid door 

Stap 3: Vul N, g en t in, in de formule 

Stap 4: Bereken 'b' en rond af op het gegeven aantal decimalen.

​y​a​​​​y​b​​​​

(​y​a​​​​y​b​​​​)​​x​b​​−x​a​​​​1​​​​

N=b⋅g​t​​

Zelf aan de slag

56, 57, 58, 59

Logaritmisch papier

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt de logaritmische schaalverdeling aflezen.

Je kunt logaritmisch papier aflezen en aan de hand daarvan de formule van een exponentieel verband opstellen.

Logaritmisch papier

Bladzijde 38 van het boek

Formule opstellen

Stel de formule op bij de grafiek 

hiernaast.                                               

Zelf aan de slag

64, 67

Redeneren met formules

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt op basis van de formule beredeneren of een grafiek gaat stijgen of dalen.

Je kunt aan de hand van de formule beredeneren wat de grenswaarde van een grafiek is.

Beredeneer wat het verzadigingsniveau (grenswaarde) is van deze formule. 

Beredeneer of de grafiek van N stijgend of dalend is.

N=​2+5,5⋅0,74​t​​​​5000​​

N=​2+5,5⋅0,74​t​​​​5000​​

Zelf aan de slag

73, 74, 75