H10: Exponenten en logaritmen

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 5

Exponenten en logaritmen

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt een groeifactor omzetten in een groeipercentage en andersom.

Je kunt berekeningen uitvoeren aan de hand van groeipercentages of groeifactoren.

Groeipercentage en groeifactor

Groeipercentage: wat komt erbij (bv 20%)

Groeifactor: waarmee vermenigvuldig je (bv 1,2)

Welke groeifactor hoort er bij

a) een toename van 2%

b) een toename van 200%

c) een afname van 12%

d) een afname van 0,3%

Voorbeeldvraag

In maart 2000 waren er nog 250.000 kievieten in Nederland. Dat aantal neemt elk jaar met 4,5% af. In maart van welk jaar zijn er voor het eerst minder dan 100.000 kievieten in Nederland?

Uitwerking

Stap 1. Bereken de groeifactor: 

Stap 2. Stel de formule op:

Stap 3. Voer de formule en y2 = 100.000 in op de GR.

Stap 4. Optie intersect geeft x = 19,9. Dus in maart 2020

N=250.000⋅0,955​t​​

​100​​100−4,5​​=0,955

Zelf aan de slag

Hoofdstuk 10, parargraaf 1: opdracht 5, 6, 7, 8

Verdubbelingstijd en halveringstijd

Wat ga je vandaag leren?

Wat verdubbelingstijd en halveringstijd betekent.

Hoe je de verdubbelingstijd en halveringstijd berekent met behulp van de grafische rekenmachine.

Verdubbelingstijd en halveringstijd

Verdubbelingstijd: hoe lang het duurt voordat een hoeveelheid verdubbelt. 

In formulevorm de 't' waarvoor geldt dat 

Halveringstijd: hoe lang het duurt voordat een hoeveelheid halveert. 

In formulevorm de 't' waarvoor geldt dat 

g​t​​=2

g​t​​=0,5

Bijvoorbeeld

Maike heeft het onkruid in haar tuin behandeld met een bestrijdingsmiddel. Elke week neemt het onkruid met 4% af. 

Na hoeveel weken is de helft van het onkruid weg? 

Na hoeveel weken is er nog maar 10% van het onkruid over?

Zelf aan de slag

Hoofdstuk 10: opdracht 12, 13, 14, 15

Groeifactoren omzetten naar een andere tijdseenheid

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je een groeifactor omzet naar een grotere tijdseenheid

Hoe je een groeifactor omzet naar een kleinere tijdseenheid

Groeipercentages omzetten

Als een hoeveelheid elke week met 1,2% toeneemt, wat is dan de toename na 4 weken?

Als een hoeveelheid elk jaar met 8% afneemt, wat is dan de afname per maand?

Zelf aan de slag

Hoofdstuk 10: opdracht 23, 24, 26, 27

Formules opstellen bij exponentiële verbanden

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt een formule opstellen bij exponentiële groei.

Gegeven is een exponentieel verband dat door de punten (4, 12) en (8, 62 gaat). Stel hierbij een formule op.

N=b⋅g​t​​

Exponentieel stappenplan

Stap 1: Bereken de totale groeifactor met 

Stap 2: Bereken de groeifactor per tijdseenheid door 

Stap 3: Vul N, g en t in, in de formule 

Stap 4: Bereken 'b' en rond af op het gegeven aantal decimalen.

​y​a​​​​y​b​​​​

(​y​a​​​​y​b​​​​)​x​b​​−x​a​​​​

N=b⋅g​t​​

Zelf aan de slag

Hoofdstuk 10: opdracht 30, 31, 32, 34

Logaritmen

Wat ga je vandaag leren?

Wat een logaritme is en hoe je ermee rekent

Hoe je het grondtal van een logaritme verandert

Los exact op

Pak je GR erbij

2​x​​=8

2​x​​=16.384

Grondtallen veranderen

Rekenregel:

Schrijf                                            in de vorm 

log​a​​(g)=​log(a)​​log(g)​​

N=40⋅log​3​​(t)

N=a⋅log(t)

Zelf aan de slag

opdracht 40, 45, 46, 47

Variabelen vrijmaken bij logaritmen

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je een variabele vrijmaakt uit een machtsformule met behulp van logaritmen

Hoe je een variabele vrijmaakt uit een logaritme 

Maak x vrij

N=log(x−5)−2

y=5+3​x−1​​

Zelf aan de slag

opdracht 49, 50, 51

Logaritmisch papier

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt de logaritmische schaalverdeling aflezen.

Je kunt logaritmisch papier aflezen en aan de hand daarvan de formule van een exponentieel verband opstellen.

Logaritmisch papier

Bladzijde 133 van het boek

Formule opstellen

Stel de formule op bij de grafiek 

hiernaast.                                               

Zelf aan de slag

Hoofdstuk 10: opdracht 58, 59, 61

Rekenregels voor logaritmen

Wat ga je vandaag leren?

Welke rekenregels er zijn voor logaritmen

Eerst even ophalen

Bereken (zonder rekenmachine)

log​4​​(16)

log​2​​(​2​​1​​)

log​3​​(√​3​​​)

De rekenregels

Even oefenen

Herleid tot 1 logaritme:

1+2⋅log​3​​(5)

Zelf aan de slag

Hoofdstuk 10: opdracht 64, 65, 67, 69

y=e^x

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je de afgeleide berekent van e^x

Wat de natuurlijke logaritme is

Afgeleide: hoe ging dat ook alweer?

Leidt af:

f(x)=x​2​​+4x−2

h(x)=(4x−2)​4​​

Afgeleide van een machtsfunctie:

                            geeft

Waarbij 

f(x)=g​x​​

f​′​​(x)=a⋅g​x​​

a=log​2,71​​(g)

Het getal 'e'

e = 2, 718281828....

ln(x)=log​e​​(x)

Afgeleides

Combineren geeft:                               geeft 

Dat betekent dat                             geeft 

                                                        

f(x)=g​x​​

f​′​​(x)=g​x​​⋅ln(g)

f(x)=e​x​​

f​′​​(x)=e​x​​⋅ln(e)=e​x​​

Leid af

f(x)=e​x​​

h(x)=e​3x​​

N=3​2t−1​​

Zelf aan de slag

opdracht 72, 73, 76, 80, 81

Samenvatting

Wat moet je nu kunnen voor het SE?

Je weet wat een groeifactor en een groeipercentage is en hoe je die in elkaar omzet.

Je kunt groeifactoren gebruiken om een verdubbelingstijd en halveringstijd te berekenen.

Je kunt groeifactoren en groeipercentages omzetten in een andere tijdseenheid.

Je kunt een formule opstellen bij een exponentieel verband.

Je kunt berekeningen uitvoeren met logaritmen.

Je kunt vergelijkingen oplossen met logaritmen.

Je kunt vergelijkingen met logaritmen oplossen (ja, dat is iets anders). 

Je kunt de rekenregels voor logaritmen toepassen en variabelen vrijmaken met en bij logaritmen.

Je kunt een logaritmische schaalverdeling aflezen.

Je kunt een exponentiële formule opstellen bij een lijn op logaritmisch papier.

Je kunt de afgeleide berekenen van een e-macht.

Je weet wat de natuurlijke logaritme is.

Je kunt de afgeleide berekenen een machtsfunctie (rekening houdend met de kettingregel).