examenstof: onderdeel A: Algebraische verbanden

• Wiskunde
• Middelbare school
• vmbo t, mavo
• Leerjaar 4

Het onderdeel algebraïsche verbanden gaat voor VMBO TL/GL in op verbanden. Denk aan lineaire verbanden, exponentiële verbanden, wortelverbanden en machtsverbanden. Je moet deze kennen en kunnen toepassen.

Bij lineaire verbanden ontstaat een verband wanneer een reeks getallen steeds hetzelfde patroon laten zien. In een lineair verband is dat verband stijgend, dalend of constant. Als je dat in een grafiek uittekent, krijg je een rechte lijn die steeds met eenzelfde hoeveelheid stijgt of daalt.

Je moet tijdens het examen het bovenstaande uit een grafiek of tabel kunnen afleiden. Je moet dan bijvoorbeeld de lineaire formule kunnen opstellen. Bijvoorbeeld y = -2x + 25. Ook moet je een lineair verband kunnen uittekenen. Dit doe je op een grafiek met een x-as en y-as. Zo is y = -2x + 25 is een rechte lijn die daalt.

Een exponentieel verband is geen rechte lijn, maar een kromme lijn. Een lijn die steeds sneller stijgt of daalt. In dit soort verbanden zit een machtsfunctie. Ook bij exponentiële verbanden moet je een grafiek kunnen opstellen. Of waardes uit een tabel/grafiek kunnen aflezen.

Lineaire en exponentiële verbanden zijn op het examen het belangrijkst om te kennen. Daarnaast wordt van je verwacht wat te weten over machtsverbanden en wortelverbanden. Je moet vooral met beiden kunnen rekenen.

Verder wordt van je verwacht dat je kunt rekenen met procenten. Zo moet je onder andere de groeifactor kunnen berekenen. Maar ook uit alledaagse situaties moet je toenames en afnames kunnen berekenen. Daarnaast moet je weten wat rente is en hoe je met rente kunt rekenen.

Herhaling van verschillende verbanden

Variabele

• Variabele is het getal dat steeds kan veranderen ( de letters in de formule)
  

• Inkomsten in € = 4,50 + 3,43t

Variabelen zijn: inkomsten in € en t

Van tabel naar formule

variabele onder = begingetal +/- stapgrootte x variabele  boven

begingetal = het getal wat in de tabel onder de 0 staat

stapgrootte = toename onder / toename boven

Van grafiek naar formule

variabele vert. = begingetal +/- stapgrootte x variabele hor. 

begingetal = snijpunt met de y-as

stapgrootte = verschil verticaal / verschil horizontaal

Bijzondere grafieken

y = getal -> horizontale lijn

x = getal -> verticale lijn

y = x -> diagonale lijn door O

Som en verschil formules

Som (hoeveel is het samen):

Huurprijs in € = 80+250w

Huurprijs in € = 20+270w

Totaal                 100+520w

Verschil (wat is het verschil):

Huurprijs in € = 80+250w

Huurprijs in € = 20+270w -

Verschil               60-20w

Vergelijkingen oplossen

met grafieken (alleen als ze er al zijn)

balansmethode (als het lineaire vergelijkingen zijn)

inklemmen (als de andere methodes niet kunnen)

Balans methode

1. vergelijking opschrijven
2. letters naar links
3. getallen naar rechts
4. delen door het getal voor de letter
5. antwoord opschrijven

Inklemmen

• doorgaan tot je het juiste getal gevonden hebt

• invoer en uitkomst opschrijven

• let op het aantal decimalen
  

• áltijd één getal erboven en één eronder uitrekenen

Gelijkwaardige formules

Om erachter te komen of twee formules gelijkwaardig zijn, vul je in beide formules twee keer hetzelfde getal in.

Als de uitkomst beide keren hetzelfde is, zijn de formules gelijkwaardig

Parabool

•  
• kwadraat voor één van de twee variabelen
• parabool is symmetrisch (verticale lijn door de top)
• - voor het kwadraat -> berg parabool (anders dal parabool)
• voor het tekenen van de grafiek, eerst een tabel met 7 punten maken, met de top in het midden.
  

y=ax​2​​+bx+c

Wortelformules

• 
  

 

• let op de haakjes onder de wortel bij het invoeren op je rekenmachine

•  Een negatieve wortel bestaat niet
• voor het tekenen van de grafiek, maak een tabel
  

hoogte=√​4a​​​

Machtsformules

Hoogte in m = 

• Grafiek tekenen: tabel maken, assenstelsel tekenen met alle informatie en punten invullen.

14+2,5t​5​​

Exponentieel verband

• Aantal =

• Exponentiële groei omdat de  variabele een exponent is

• Groeifactor, met welk getal je het begingetal vermenigvuldigt als de tijd 1 toeneemt

begingetal⋅groeifactor​t​​

Toename 

Oppervlakte = 

Hoeveel komt erbij op de 15e dag?

Dus tussen t= 14 (8 192) en t =15 (16 384)

16 384 - 8 192 = 8 192 

Dus op de 15e dag komt er 8 192           bij 

0,5⋅2​t​​

dm​2​​

Van % naar groeifactor

• Rente is 3,5%
• Na 1 jaar heb je 103,5%
• Groeifactor is 103,5 : 100 = 1,035

• Aantal panda's neemt 8,5% per jaar af
• Na 1 jaar zijn er 91,5% 
• Groeifactor is 91,5 : 100 = 0,915

Van groeifactor naar %

• Groeifactor is 1,035
• Na 1 jaar heb je 1,035 x 100 = 103,5
• Rente is 103,5 - 100 = 3,5%

• Groeifacor is 0,915
• Na 1 jaar heb je 0,915 x 100 = 91,5
• Percentage is 100 - 91,5 = 8,5%

Verdubbelingstijd en halveringstijd

• Verdubbelingstijd: de tijd die nodig is om het begingetal te verdubbelen
• Halveringstijd: de tijd die nodig is om het begingetal te halveren

Bereken je meestal met inklemmen, let dan op het aantal decimalen waarop je  moet afronden. 

Omgekeerd evenredig verband

• Uren vakkenvullen =                     als er in totaal 24 uren zijn

• Bedrag per leerling =                    als de bus €600 in totaal kost

• Delen door een variabele 
  

• Grafiek is een hyperbool, in een tabel is boven x onder voor alle vakjes gelijk
  

​aantal​​24​​

​aantal​​600​​

Periodiek verband

In een periodiek verband is spraken van een schommeling om een horizontale evenwichtstand met een vaste periode.

Het aantal periodes per tijdseenheid heet een frequentie 

Voorbeelden: trillingen, hoogte van een ventiel bij een rijdende  fiets, eb en vloed.