H3.4 Vergelijkingen in de meetkunde

H3.4 vergelijkingen in de meetkunde

theorie A: rekenregels voor wortels
theorie B: Rekenen met wortels
theorie C: Vergelijkingen met wortels
theorie D: Bijzondere rechthoekige driehoeken

zonder sin, cos, tan

Ik ken de verhoudingen van de zijden in de 2 standaard driehoeken (45-45-90 en 30-60-90) en kan deze toepassen

1 / 29

Slide 1: Slide

WiskundeMiddelbare schoolhavoLeerjaar 4

This lesson contains 29 slides, with interactive quiz and text slides.

Lesson duration is: 15 min

Items in this lesson

H3.4 vergelijkingen in de meetkunde

theorie A: rekenregels voor wortels
theorie B: Rekenen met wortels
theorie C: Vergelijkingen met wortels
theorie D: Bijzondere rechthoekige driehoeken

zonder sin, cos, tan

Ik ken de verhoudingen van de zijden in de 2 standaard driehoeken (45-45-90 en 30-60-90) en kan deze toepassen

Slide 1 - Slide

Wortels op rekenmachine

\sqrt ​ 81 ​ ​ ​

Slide 2 - Slide

Wortels

Slide 3 - Slide

Rekenen met wortels

Slide 4 - Slide

Wortels en kwadrateren

kwadrateren

wortel trekken

Slide 5 - Slide

Rekenen met wortels

Slide 6 - Slide

Rekenen met wortels

Afspraak: Je brengt altijd een zo groot mogelijke factor voor de wortel en je laat geen wortels in de breuken van een noemer staan

\frac{​ 4 ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} = \frac{​ 4 ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} \cdot \frac{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} = \frac{​ 4 \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} = \frac{​ 4 \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ 5 ​} = \frac{​ 4 ​ ​}{​ 5 ​} \sqrt ​ 5 ​ ​ ​

\sqrt ​ 72 ​ ​ ​ = \sqrt ​ 9 \cdot 8 ​ ​ ​ = \sqrt ​ 9 ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ 8 ​ ​ ​ = 3 \sqrt ​ 8 ​ ​ ​

Slide 7 - Slide

Vergelijkingen met wortels

Slide 8 - Slide

Herleid:

2 \sqrt ​ 24 ​ ​ ​ \cdot - \frac{​ 8 ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​}

2 \cdot \sqrt ​ 6 \cdot 4 ​ ​ ​ - \frac{​ 8 ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​}

4 \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - \frac{​ 8 ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​}

4 \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - \frac{​ 8 ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​} \cdot \frac{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​}

4 \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - \frac{​ 8 \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​ ​}{​ 6 ​}

4 \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - 1 \frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​} \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​

2 \frac{​ 2 ​ ​}{​ 3 ​} \sqrt ​ 6 ​ ​ ​

Slide 9 - Slide

Herleid:

a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + \sqrt ​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} a^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + \sqrt ​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ a^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + \frac{​ \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ ​ ​}{​ 2 ​} \cdot a

a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ \cdot a

a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} a \cdot \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

1 \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} a \cdot \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

Slide 10 - Slide

Los algebraïsch op:

1. Ik wil alleen x links als hele getal hebben:

x 3

2 Nu uit noemer (deler) halen:

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​} x \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ - 10 = 3 \sqrt ​ 15 ​ ​ ​

\frac{​ x \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} = \frac{​ ( 9 \sqrt ​ 1 5 ​ ​ ​ + 3 0 ) ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​}

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​} x \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ = 3 \sqrt ​ 15 ​ ​ ​ + 10

\sqrt ​ 5 ​ ​ ​

x = \frac{​ 9 \sqrt ​ 1 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} + \frac{​ 3 0 ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​}

x = 9 \cdot \frac{​ \sqrt ​ 1 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} + \frac{​ 3 0 ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​}

x = 9 \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ + \frac{​ 3 0 ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} \cdot \frac{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​}

\sqrt ​ 5 ​ ​ ​

x = 9 \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ + \frac{​ 3 0 \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ 5 ​}

x = 9 \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ + \frac{​ 3 0 ​ ​}{​ 5 ​} \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​

x = 9 \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ + 6 \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​

Slide 11 - Slide

Los algebraïsch op:

1. Ik wil alleen x links als hele getal hebben:

2 Nu uit noemer (deler) halen: gaat niet omdat re verschillende instaan.

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 4 ​} x \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ + \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} x \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

(\sqrt ​ 3 ​ ​ ​)^{​ [?] ​ ​} \sqrt ​ 6 ​ ​ ​

x \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ + 4 \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ = 2 x \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

x \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - 2 x \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ = 4 \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

x (\sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - 2 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​) = 4 \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

x = \frac{​ - 4 \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - 2 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ ​}

Slide 12 - Slide

Bijzondere rechthoekige driehoeken

De zijden van een gelijkbenige

rechthoekige driehoek verhouden

zich als 1:1:

De zijden van een driehoek met

hoeken van

verhouden zich als 1:2:

\sqrt ​ 2 ​ ​ ​

°

30 ° e n 60 °

\sqrt ​ 3 ​ ​ ​

Slide 13 - Slide

Bijzondere rechthoekinge driehoeken 3.4 theorie D

\sqrt ​ 3 ​ ​ ​

\sqrt ​ 2 ​ ​ ​

Slide 14 - Slide

Snavelfiguur en zandloperfiguur

Slide 15 - Slide

De sinusregel

\frac{​ a ​ ​}{​ sin ( α ) ​} = \frac{​ b ​ ​}{​ sin ( β ) ​} = \frac{​ c ​ ​}{​ sin ( γ ) ​}

Met 3 "stukjes info" kun je nu bijna

altijd alles in een driehoek berekenen

Let op: bij stompe hoeken

sin (180 ° - α) = sin (α)

Slide 16 - Slide

De cosinusregel

a^{​ 2 ​ ​} = b^{​ 2 ​ ​} + c^{​ 2 ​ ​} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos (α)

b^{​ 2 ​ ​} = a^{​ 2 ​ ​} + c^{​ 2 ​ ​} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos (β)

c^{​ 2 ​ ​} = a^{​ 2 ​ ​} + b^{​ 2 ​ ​} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos (γ)

Als je 3 zijdes hebt kun je de hoeken uitrekenen

Als je twee zijdes met de ingesloten hoek hebt, kun je de 3e zijde berekenen

Slide 17 - Slide

Slide 18 - Slide

Berekeningen met bijzondere driehoeken

1 : 1 : \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

1 : 2 : \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

Slide 19 - Slide

Bijzondere rechthoekige driehoeken

Slide 20 - Slide

Voorbeeldsom verschillende goniometrie theorieën

Bereken exact de oppervlakte van ABC.

1. gelijkbenig ? Nee

2. rechthoekige ? Nee

3. Sinusregel? setje + andere zijde of hoek bekend? Ja

omdat hoek C = (setje)

+ een andere hoek

4. Cosinusregel? twee zijden met ingesloten hoek of alle zijden bekent? Nee

105 °

Slide 21 - Slide

Bereken exact de oppervlakte van ABC.

4. Sinusregel

1. Hoeken benoemen

2. Zijden benoemen: a, b en c

3. Hoogtelijn AC berekenen

c = 10 en

4. Nu kun je hoogtelijn C op AB uitrekenen met CAS: cos 30 = c/7,3

cos 30 x 7, 3 = 6,34

5. Daarna opp = 1/2 x hoogtelijn x c = 1/2 x 6,34 x 10 = 31,55

α, β e n γ

α

β

γ

b = 7, 3

a

c

105 °

γ = 105 °

\frac{​ a ​ ​}{​ sin ( α ) ​} = \frac{​ b ​ ​}{​ sin ( β ) ​} = \frac{​ c ​ ​}{​ sin ( γ ) ​}

\frac{​ a ​ ​}{​ sin ( 3 0 ) ​} = \frac{​ b ​ ​}{​ sin ( 4 5 ) ​} = \frac{​ 1 0 ​ ​}{​ sin ( 1 0 5 ) ​}

= b = \frac{​ 1 0 \cdot sin ( 4 5 ) ​ ​}{​ sin ( 1 0 5 ) ​} = 7, 32

Slide 22 - Slide

Gelijkbenige driehoek

verhouding : 1: 1:

....... : ...... : 8 =

\sqrt ​ 2 ​ ​ ​

8

\frac{​ 8 ​ ​}{​ \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ ​} = 5, 6568 = 5, 7

Slide 23 - Slide

Rechthoekige driehoek

verhouding : 1: 2:

....... : ...... : =

AC = BC : 2

\sqrt ​ 3 ​ ​ ​

6 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

30 °

6 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

A B = \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ \cdot A C = \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ \cdot 3 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ = 9

Slide 24 - Slide

Bereken KL

1. Bijzonder rechthoek? Ja 30, 90 en 60 graden: 1 : 2 : of zie hieronder

NL = MN = 5

30 °

45 °

N

10

\sqrt ​ 3 ​ ​ ​

M N = \frac{​ K M ​ ​}{​ 2 ​} = \frac{​ 1 0 ​ ​}{​ 2 ​} = 5

5

K M^{​ 2 ​ ​} - M N^{​ 2 ​ ​} = K N^{​ 2 ​ ​}

K N^{​ 2 ​ ​} = 10^{​ 2 ​ ​} - 5^{​ 2 ​ ​} = 100 - 25 = 75

10

K N = \sqrt ​ 75 ​ ​ ​ = 8, 66

SCHETS

M L = \sqrt ​ 5^{​ 2 ​ ​} + \sqrt ​ 5^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​ = \sqrt ​ 50 ​ ​ ​ ​ ​ ​ \approx 7

Slide 25 - Slide

Rechthoekige driehoek

verhouding : 1: 2:

....... : ...... : =

AC = BC : 2

\sqrt ​ 3 ​ ​ ​

10

30 °

6 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

A B = \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ \cdot A C = \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ \cdot 3 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ = 9

Slide 26 - Slide

timer

10:00

Slide 27 - Open question

Slide 28 - Slide

a. AP = x en druk PW uit in x

b. Hoe kom je aan AB =

c. Bereken zijde AP

We weten:

a. regelmatige achthoek : alle zijden zijn gelijk!

b. gelijkbenige rechthoekige

driehoek dus PW = PQ = QB etc.

1 (WA) : 1 (SP) : (PW)

PWA:

AB = AP + PQ + QR

\sqrt ​ 2 ​ ​ ​

P Q = \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ \cdot A P = \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ \cdot x = x \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

6 = x + x \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + x = 2 x + x \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

6 = x (2 + \sqrt ​ 2 ​ ​ ​)

2 x + x \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

Slide 29 - Slide

H3.4 Vergelijkingen in de meetkunde

Items in this lesson

Slide 1 - Slide

Slide 2 - Slide

Slide 3 - Slide

Slide 4 - Slide

Slide 5 - Slide

Slide 6 - Slide

Slide 7 - Slide

Slide 8 - Slide

Slide 9 - Slide

Slide 10 - Slide

Slide 11 - Slide

Slide 12 - Slide

Slide 13 - Slide

Slide 14 - Slide

Slide 15 - Slide

Slide 16 - Slide

Slide 17 - Slide

Slide 18 - Slide

Slide 19 - Slide

Slide 20 - Slide

Slide 21 - Slide

Slide 22 - Slide

Slide 23 - Slide

Slide 24 - Slide

Slide 25 - Slide

Slide 26 - Slide

Slide 27 - Open question

Slide 28 - Slide

Slide 29 - Slide

More lessons like this

H3.3CD - Vergelijkingen in de meetkunde

sinus, cosinus en tangens

sinus, cosinus en tangens

Eigenschappen van vlakke figuren

3.3 Vergelijkingen met wortels

Samenvatting H3 Hoeken en afstanden

Samenvatting H3 Hoeken en afstanden

Samenvatting H3 Hoeken en afstanden