Factorización

Separar un polinomio en multiplicaciones.

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pre-calculusTertiary Education

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Factorización

Separar un polinomio en multiplicaciones.

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Factorización

Así como un número se separa en productos primos (36 = 2*2*3*3) un polinomio puede separarse en monomios

a^{​ 2 ​ ​} + 2 a b + b^{​ 2 ​ ​} = (a + b) \cdot (a + b)

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Factor común

Existe un elemento que aparece en todos los términos.

a x^{​ 2 ​ ​} + a x + a \cdot c

a x^{​ 2 ​ ​} + a x + a \cdot c = a (\frac{​ a x ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ a ​} + \frac{​ a x ​ ​}{​ a ​} + \frac{​ a c ​ ​}{​ a ​})

a x^{​ 2 ​ ​} + a x + a \cdot c = a (x^{​ 2 ​ ​} + x + c)

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Factor común

Existe un elemento que aparece en todos los términos.

4 x^{​ 2 ​ ​} + 8 x - 16 = 4 x^{​ 2 ​ ​} + 4 \cdot 2 \cdot x - 4 \cdot 4

4 x^{​ 2 ​ ​} + 8 x - 16 = 4 (\frac{​ 4 x ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ 4 ​} + \frac{​ 8 x ​ ​}{​ 4 ​} - \frac{​ 1 6 ​ ​}{​ 4 ​})

4 x^{​ 2 ​ ​} + 8 x - 16 = 4 (x^{​ 2 ​ ​} + 2 x - 4)

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Factor común con exponentes.

Se separa el término con menor exponente.

3 x^{​ 3 ​ ​} - 9 x^{​ 2 ​ ​} =

3 x^{​ 3 ​ ​} - 9 x^{​ 2 ​ ​} = 3 \cdot x^{​ 2 ​ ​} (\frac{​ 3 x ^{​ 3 ​ ​} ​ ​}{​ 3 x ^{​ 2 ​ ​} ​} - \frac{​ 9 x ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ 3 x ^{​ 2 ​ ​} ​})

3 x^{​ 3 ​ ​} - 9 x^{​ 2 ​ ​} = 3 x^{​ 2 ​ ​} (x - 3)

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Otro ejemplo

\sqrt ​ x ​ ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ \sqrt ​ x ​ ​ ​ ​} = x^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} + x^{​ - \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​}

\sqrt ​ x ​ ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ \sqrt ​ x ​ ​ ​ ​} = x^{​ - \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} (x^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} - (- \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​}) ​ ​} + x^{​ - \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} - (- \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​}) ​ ​}

\sqrt ​ x ​ ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ \sqrt ​ x ​ ​ ​ ​} = x^{​ - \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} (\frac{​ x ^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​ ​}{​ x ^{​ - \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​} + \frac{​ x ^{​ - \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​ ​}{​ x ^{​ - \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} ​})

\sqrt ​ x ​ ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ \sqrt ​ x ​ ​ ​ ​} = x^{​ - \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} (x^{​ 1 ​ ​} + x^{​ 0 ​ ​}) = \frac{​ 1 ​ ​}{​ \sqrt ​ x ​ ​ ​ ​} (x + 1)

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También funciona con paréntesis

(x - 4)^{​ 3 ​ ​} - 3 x (x - 4)^{​ 2 ​ ​} =

(x - 4)^{​ 3 ​ ​} - 3 x (x - 4)^{​ 2 ​ ​} = (x - 4)^{​ 2 ​ ​} (x - 4 - 3 x)

= (x - 4)^{​ 2 ​ ​} (\frac{​ ( x - 4 ) ^{​ 3 ​ ​} ​ ​}{​ ( x - 4 ) ^{​ 2 ​ ​} ​} - \frac{​ 3 x ( x - 4 ) ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ ( x - 4 ) ^{​ 2 ​ ​} ​})

= (x - 4)^{​ 2 ​ ​} (- 2 x - 4) = - (x - 4)^{​ 2 ​ ​} (2 x + 4)

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También funciona con paréntesis

3 x^{​ 2 ​ ​} \sqrt ​ x + 2 ​ ​ ​ + \frac{​ 9 x ​ ​}{​ \sqrt ​ x + 2 ​ ​ ​ ​} = 3 x^{​ 2 ​ ​} (x + 2)^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} + 9 x (x + 2)^{​ - \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​}

= 3 \cdot x \cdot (x + 2)^{​ - \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​} (x (x + 2)^{​ 1 ​ ​} + 3 (x + 2)^{​ 0 ​ ​})

= \frac{​ 3 \cdot x ​ ​}{​ \sqrt ​ x + 2 ​ ​ ​ ​} (x^{​ 2 ​ ​} + 2 x + 3)

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Factoriza:

6 x^{​ 3 ​ ​} (3 x - 2)^{​ 2 ​ ​} - 9 x (3 x - 2)^{​ 3 ​ ​}

3 x \cdot (3 x - 2)^{​ 2 ​ ​} (2 x^{​ 2 ​ ​} - 9 x + 6)

Slide 9 - Quiz

6 x^{​ 3 ​ ​} (3 x - 2)^{​ 2 ​ ​} - 9 x (3 x - 2)^{​ 3 ​ ​}

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Factorizar un trinomio

a x^{​ 2 ​ ​} + b x + c

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Factorizar un trinomio

a x^{​ 2 ​ ​} + b x + c

El único método 100% efectivo es la fórmula general:

x^{​ 1, 2 ​ ​} = \frac{​ - b \pm \sqrt ​ b ^{​ 2 ​ ​} - 4 a c ​ ​ ​ ​ ​}{​ 2 a ​}

(x - x^{​ 1 ​ ​}) (x - x^{​ 2 ​ ​})

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Factorizar un trinomio

a x^{​ 2 ​ ​} + b x + c = 6 x^{​ 2 ​ ​} - x - 12

Vamos a multiplicar a y c y encontrar sus factores:

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Factorizar un trinomio

a x^{​ 2 ​ ​} + b x + c = 6 x^{​ 2 ​ ​} - x - 12

El signo de "b" va en la columna de los mayores:

-72

-36

-24

-18

-12

-9

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Factorizar un trinomio

a x^{​ 2 ​ ​} + b x + c = 6 x^{​ 2 ​ ​} - x - 12

Si el signo de "c" es +, repetimos signo, si es - cambiamos

-72

-36

-24

-18

-12

-9

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Factorizar un trinomio

a x^{​ 2 ​ ​} + b x + c = 6 x^{​ 2 ​ ​} - x - 12

Agregamos una tercer columna con la suma y buscamos a "b":

-72

-71

-36

-34

-24

-21

-18

-14

-12

-6

-9

-1

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Factorizar un trinomio

a x^{​ 2 ​ ​} + b x + c = 6 x^{​ 2 ​ ​} - x - 12

Expresamos el trinomio usando los dos términos que sumamos

-9

-1

6 x^{​ 2 ​ ​} - 9 x + 8 x - 12

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Factorizar un trinomio

a x^{​ 2 ​ ​} + b x + c = 6 x^{​ 2 ​ ​} - x - 12

Agrupamos de dos en dos y buscamos factor común dos veces

6 x^{​ 2 ​ ​} - 9 x + 8 x - 12

(6 x^{​ 2 ​ ​} - 9 x) + (8 x - 12)

3 x (2 x - 3) + 4 (2 x - 3)

(2 x - 3) (3 x + 4)

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Diferencia de cuadrados:

(a^{​ 2 ​ ​} - b^{​ 2 ​ ​}) = (a + b) (a - b)

x^{​ 2 ​ ​} - 9 = (x + 3) (x - 3)

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Suma o resta de cubos:

(a^{​ 3 ​ ​} + b^{​ 3 ​ ​}) = (a + b) (a^{​ 2 ​ ​} - a b + b^{​ 2 ​ ​})

(a^{​ 3 ​ ​} - b^{​ 3 ​ ​}) = (a - b) (a^{​ 2 ​ ​} + a b + b^{​ 2 ​ ​})

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Factorice:

6 x^{​ 2 ​ ​} - x - 12

(3 x - 4) (2 x + 3)

(3 x + 4) (2 x - 3)

(3 x - 3) (2 x + 4)

(3 x + 3) (2 x + 4)

Slide 21 - Quiz

Factorice:

(\frac{​ x ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ 4 ​} - \frac{​ 9 ​ ​}{​ x ^{​ 4 ​ ​} ​})

(\frac{​ x ​ ​}{​ 2 ​} + \frac{​ 3 ​ ​}{​ x ^{​ 2 ​ ​} ​}) (\frac{​ x ​ ​}{​ 2 ​} - \frac{​ 3 ​ ​}{​ x ^{​ 2 ​ ​} ​})

(\frac{​ x ​ ​}{​ 2 ​} + \frac{​ 3 ​ ​}{​ x ^{​ 2 ​ ​} ​}) (\frac{​ x ​ ​}{​ 2 ​} + \frac{​ 3 ​ ​}{​ x ^{​ 2 ​ ​} ​})

(\frac{​ x ​ ​}{​ 2 ​} - \frac{​ 3 ​ ​}{​ x ^{​ 2 ​ ​} ​}) (\frac{​ x ​ ​}{​ 2 ​} - \frac{​ 3 ​ ​}{​ x ^{​ 2 ​ ​} ​})

(x - 3) (x + 3)

Slide 22 - Quiz

Factorice:

4 x^{​ 2 ​ ​} - 28 x + 49

(x - 7) (4 x + 7)

(2 x - 7) (2 x + 7)

(2 x + 7)^{​ 2 ​ ​}

(2 x - 7)^{​ 2 ​ ​}

Slide 23 - Quiz

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