combinaties en permutaties

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4

Permutaties of Combinaties?

Enkele voorbeelden.....

1. Op hoeveel manieren kan je 7 boeken stapelen, zodat één bepaald boek (bijvoorbeeld boek B) op de derde plaats ligt?

Verwijder het boek B. Maak nu alle mogelijke stapels van 6 boeken. Dit kan op 6! (=720) manieren. Plaats achteraf het boek B op de derde plaats.

2. Op hoeveel verschillende manieren kun je 3 knikkers pakken uit een doos met 15 verschillende knikkers?

3 elementen nemen uit een verzameling van 15 elementen kan op 15 nCr 3 (=455) verschillende manieren

3. In een bedrijf zijn er 20 mannen en 10 vrouwen. Op hoeveel manieren kan men een vergadering samenstellen met 3 mannen en 2 vrouwen.​

Eerst kiezen we de drie Mannen. ​

Dit kan op 20 nCr 3 (=1140) manieren. ​

Dan kiezen we de 2 vrouwen. ​

Dit kan op 10 nCr 2 (=45) manieren. ​

De vergadering kan samengesteld worden op ​

20 nCr 3 ∙ 10 nCr 2 = 1140∙45=51300 manieren​

4. Op hoeveel manieren kan je, uit een kaartspel, 5 kaarten nemen met daarin tenminste 2 azen? ​

Neem eerst het geval van 5 kaarten waarin juist 2 azen zitten. Voor de 2 azen hebben we 4 nCr 2 mogelijkheden en voor de drie andere kaarten hebben we 48 nCr 3 mogelijkheden. 

De 5 kaarten kunnen gekozen worden op 4 nCr 2 ∙48 nCr 3 manieren.(=6*17296=69184)​

​ Op dezelfde manier krijg je voor 5 kaarten met 3 azen ​

4 nCr 3 ∙ 48 nCr 2 (=4*4512=18048) manieren.​

​      Voor 5 kaarten met juist 4 azen hebben we 48 manieren.​

​ Totaal = 4 nCr 2∙ 48 nCr 3 + 4 nCr 3∙ 48 nCr 2 + 48 manieren.​=

69184+18048+48=708280

5. Op hoeveel manieren kan je een groep van 13 personen in 3 personen en 10 personen? ​

Het is voldoende de drie personen te kiezen om de groep te splitsen. ​

Daar de volgorde van die drie personen geen rol speelt, kan dit op 13 nCr 3 manieren.​ (=286)

7. Hoeveel getallen van 3 cijfers kan je vormen met de cijfers 0,1,2,3,4 ?​

Voor het eerste cijfer zijn er 4 mogelijkheden. Voor het tweede en derde cijfer zijn er 5 mogelijkheden.​

Totaal = 4∙5∙5 ​=100

8. 1011011101 is een voorbeeld van een binair getal met lengte 10.​ Hoeveel binaire getallen met lengte 10 en eindigend op 111 bestaan er zodat er juist 2 nullen in voorkomen. ​(bedenk dat elk binair getal met 1 begint)

Het getal ligt volledig vast als we de plaats van de twee nullen kennen.​ Een binair getal dat aan de gevraagde voorwaarden voldoet start met 1 en eindigt met 111. Er zijn dan nog 6 plaatsen over. Van zodra we twee plaatsen voor de nullen aanwijzen ligt het getal vast.​ Het aantal mogelijkheden om 2 plaatsen te kiezen uit de zes is 6 nCr 2. ​(=15)

9. Er staan 7 boeken in de kast: K, L, M, N, O, P en Q. In de kerstvakantie lees ik één van deze boeken, daarna nog één en daarna nog één (nooit twee keer dezelfde natuurlijk). Bijvoorbeeld: eerst P, dan K, dan M. Hoeveel van zulke mogelijkheden zijn er?​

Vraag jezelf af: is er een verschil tussen:​

 ​

“Eerst P, dan K, dan M” en​

“Eerst M, dan K, dan P”?​

 ​

Ja, dat zijn twee verschillende mogelijkheden. Dus je gebruikt hier permutaties, dus 7 nPr 3 ​

10. In een kamer hangen 5 TL-buizen. Twee hiervan branden. Hoeveel mogelijkheden zijn er?​

Noem de lampen bijvoorbeeld 1, 2, 3, 4 en 5. Twee branden er, bijvoorbeeld 3 en 5.​

Vraag jezelf af: is er een verschil tussen:​

“TL-buizen 3 en 5 branden” en​

“TL-buizen 5 en 3 branden”?​

 Nee, dat komt op hetzelfde neer. Dus je gebruikt hier combinaties, dus 5 nCr 2 .​(=10)

11. Uit een groep van 8 mensen worden 2 mensen gekozen. Eentje om de zaal te versieren, eentje om de geluidsapparatuur aan te sluiten (bijvoorbeeld Jan voor de versiering, Kees voor de geluidsapparatuur). Hoeveel mogelijkheden zijn er?​

De volgorde is van belang: Jan voor de versiering, Kees voor de geluidsapparatuur is iets anders dan Jan voor de geluidsapparatuur, Kees voor de versiering. Dus 8 nPr 2 = 56.​

12. Een muziekband heeft een repertoire van 10 liedjes. Voor een optreden mogen ze drie liedjes uitkiezen. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor die keuze?​

De volgorde is niet van belang: Liedje A, B en C uitkiezen, is hetzelfde als liedje C, A en B uitkiezen. ​

Dus 10 nCr 3=120. Nota bene: als gevraagd wordt naar hoeveel mogelijkheden er voor het optreden zijn, dan kun je nog onderscheid maken tussen “eerst C spelen, dan A, dan B” en “Eerst A, dan B, dan C” of “Eerst B, dan C, dan A” enzovoorts. ​

In dat geval is het dus 10 nPr 3=720.​

13. Hoeveel nummerplaten kunnen er gevormd worden met 3 letters vooraan en 3 cijfers achteraan ?​

We kiezen eerst drie letters, dan 3 cijfers , zoals JMB 007. Dit kan gebeuren op​

26⋅26⋅26⋅10⋅10⋅10 =17576000manieren.​

14. Hoeveel nummerplaten kunnen er gevormd worden met 3 verschillende letters en 3 verschillende cijfers, indien de letters vooraan moeten staan ?​

Er zijn 26 nPr 3 ⋅ 10 nPr 3 = 26⋅ 25⋅ 24⋅10⋅9⋅8 =11232000 mogelijkheden.​ (Iets minder dan in de vorige vraag)