Les 12: H5 en H10: Samenvatten en combineren Gonio, Pythagoras, hellingspercentage - 3M

• Wiskunde
• Middelbare school
• vmbo g, t, mavo
• Leerjaar 3

Leerdoelen-formulier 
voor je!

Lesplanning: 

• Lesdoel bespreken  
• Terugblik: 
  Alle theorie H5 en H10
• Afsluiting
  

Wat ga je leren?

Je kunt alle geleerde vaardigheden gecombineerd gebruiken!

Terugblik: Instellen rekenmachine

Zorg er voor dat je rekenmachine goed 
is ingesteld als je goniometrie gaat gebruiken. 
In je schermpje staat  een kleine D.
Wanneer dit niet het geval is, reset je je rekenmachine. 
Shift -> CLR -> 3 -> = -> =

.

Terugblik: Pythagoras - Schema

• Bij welk figuur gebruik je de stelling van Pythagoras?
• Hoe luidt de stelling van Pythagoras?
• kz² + kz² = lz²              
• Deze pasten we in een schema toe:
  
• kz²= PQ² = 12² = 144
    kz²= QR²=   5² =   25   + 
    lz² = PR²=   ...    = 169
  PR = V169 = 13          Dus PR = 13. 
  

Terugblik: Pythagoras -  Verkort

Dus onthoudt de verkorte stelling van Pythagoras:

Wanneer je een korte zijde uit moet rekenen, gebruik je de volgende formule:

kz=​[?]​​√​lz​2​​−kz​2​​​​​

lz=​[?]​​√​kz​2​​+kz​2​​​​​

Terugblik: Pythagoras - Verlengd

In hoofdstuk 2 leerden we de verlengde stelling van Pythagoras

Wanneer gebruikten we deze ook alweer?

• Om de lichaamsdiagonaal uit te rekenen.
• lengte²   = kz² = AB² = 6² = 36
  breedte² = kz² = BC² = 3² =    9
  hoogte²   = kz² = CG² = 5² = 25   +
  lich.dia²   = lz² =   AG² = ...  = 70 
  AG = V70 = 8,366...                  Dus AG is ca. 8,4 
  
  
  

Terugblik: Pythagoras - Verlengd

Dus onthoudt de verlengde stelling van Pythagoras:

(hebben jullie eigenlijk niet nodig, maar om jullie wat te verreiken... )Wanneer je een korte zijde uit moet rekenen, gebruik je de volgende formule:

kz=​[?]​​√​lz​2​​−kz​2​​−kz​2​​​​​

lz=​[?]​​√​kz​2​​+kz​2​​+kz​2​​​​​

Terugblik: Bewoording

• Kz² + kz² = lz² 
• Deze kreten kz en lz gebruiken we om het begrip te verhogen vanaf klas 2. Officieler is de stelling:
  rechthoekszijde² + rechthoekszijde² = schuine zijde²
• Wij gaan in dit hoofdstuk naar de meer 
  officielere termen.
  

Rhz altijd vast aan de rechte hoek.

sz zit nooit vast aan de rechte hoek

Terugblik: van RC naar HP

• Met de RC bereken je hoe steil een grafiek loopt, ofwel
• Met de RC bereken je hoe steil een helling is.
• Dit, de hellingshoek, kun ook geven in graden en procenten.
• Voor 't meten van de hellingshoek in graden gebruik de geo.
• Het berekenen van de hellingshoek leren jullie later  periode.
• De hellingshoek in %, het hellingspercentage, bereken je door de RC x 100 te doen. 
  

Terugblik: van RC naar HP

•  Algemeen gelden de formules:
  
  
  
  
  
• Deze laatste wordt iets anders opgeschreven,
  om het later makkelijker te maken:
  
  

RC

=​Toename.horizontaal​​Toename.verticaal​​

RC=​3​​2​​≈0,7

HP

=​Toename.horizontaal​​Toename.verticaal​​X100

HP

=​Horizontale.afstand​​Hoogteverschil​​X100

 het hellingspercentage bereken je door RC X 100 te doen

Terugblik: van RC en HP naar tan

• Zoals gezegd is de RC de verhouding tussen toename verticaal en toename horizontaal, ofwel tussen hoogteverschil en horizontale afstand.
  
• Deze verhouding noemen we de tangens van de hellingshoek. 
  Op je rekenmachine staat dit afgekort naar tan.
• Deze gebruik je wanneer je weet hoeveel graden de hellingshoek is.
  
• Dus er zijn 2 formules voor het hellingspercentage:
  
  
  
  

RC=​Toename.horizontaal​​Toename.verticaal​​

Hoek bekend

HP

HP=tanhellingshoekX100

HP=​horizontale.afstand​​hoogteverschil​​X100

=​horizontale.afstand​​hoogteverschil​​

=tanhellingshoek

tan

zijden bekend

HP

Terugblik: Tangens

• Zoals gezegd is de tangens de verhouding tussen toename verticaal en toename horizontaal, ofwel tussen hoogteverschil en horizontale afstand.
• Echter noemen we dit bij de tangens anders, hiervoor kijken we even terug naar dit figuur:
  

RC=​Toename.horizontaal​​Toename.verticaal​​

=​horizontale.afstand​​hoogteverschil​​

=tanhellingshoek

Rhz altijd vast aan de rechte hoek.

sz zit nooit vast aan de rechte hoek

Terugblik: Tangens

Nu gaan ze als volgt heten:

• Dus is de formule voor tangens:
  
  
  
  
  
• Onthoud dit met het ezelsbruggetje: TOA
  
  

RC=​Toename.horizontaal​​Toename.verticaal​​

=​horizontale.afstand​​hoogteverschil​​

=tanhellingshoek

tanhoek=​aanliggende.rechthoekszijde​​overstaande.rechthoekszijde​​

tanhellingshoek=​horizontale.afstand​​hoogteverschil​​

tan

tan

Terugblik: Tangens

Met de tangens kun je de grootte van een hoek in graden vinden, mits je weet hoe lang de rechthoekszijden zijn.

Hiervoor gerbuiken we de inverse tangens, op je rekenmachine is dat tan^-1.

Deze vind je door op je rekenmachine shift -> tan te doen.

Staan alle rekenmachines juist ingesteld????

Terugblik: Tangens

• Vul de tangens formule in: 
  
  
• Vul de gegevens in die je weet:
  
  
• Als je de hoek wilt uitreken doe je vervolgens: (officieel foute notatie)
                                                                
  

tan∠A=​AB​​BC​​

tan∠A=​40​​17​​

∠A=tan​−1​​(​40​​17​​)=23,025...

∠A=tan​−1​​(17:40)=23,025...

Bereken∠A

of

Dus

∠A≈23​0​​

Terugblik: Hoekensom

Deze kon ook anders, aangezien we 
Hoek A al wisten voor we C gingen 

berekenen.  Immers:

Dit doen we met de hoekensom van een driehoek. Wat is dit ook alweer? 

• Alle hoeken van een driehoek samen zijn 180^o.
  

Bereken∠C

∠A=23,025...

∠C=180−∠B−∠A(HoeksomΔ)

∠C=180−90−23,025...=66,974...

∠C≈67​0​​

Terugblik: Drieletternotatie

• L A₁=?
• L A₁=L IAB
• L A₂=?
• L A₂ = L BAC
• L A₁₂ = L IAC
  

Terugblik: Goniometrie

Goniometrie

Terugblik: 6-3-2-driehoek

0

6=3X2

3=​2​​6​​

2=​3​​6​​

Terugblik: Stappenplan gonio 

1. Maak een schets van de situatie, wanneer dit nodig is.
   
2. SOS,CAS of TOA - wat is bekend van de driehoek en wat moet je weten?
3. Vul de namen van de zijden en de hoek in.
4. Vul de lengte van de zijde(n) en/of de grootte van de hoek in die je weet.
5. - Is de hoek gegeven? Gebruik de 6-3-2-driehoek om de gevraagde hoek 
                                                  uit te  rekenen.
   - Is de hoek niet gegeven? Gebruik de inverse om de gevraagde zijde uit 
                                                           te rekenen.
6. Rond je antwoord pas af in de Dus-zin.
   

Terugblik: Stappenplan tan i.d. ruimte

1. Maak een schets van het vlak waar de gevraagde hoek in zit, schrijf hier de afmetingen die je weet bij en zoek de rechthoekige driehoek. 
   
2. - Weet je voldoende van deze driehoek om de tangens te gebruiken? -> 5
   - Mis je nog een zijde van deze driehoek? -> 3
   
3. Schets het vlak waar de missende zijde ook in zit, schrijf hier alle afmetingen bij en zoek de rechthoekige driehoek die je nodig hebt. 
4. Bereken met goniometrie of pythagoras de missende zijde. Schrijf deze in de eerste schets.
   
5. Bereken met de tangens de hoek die in de opgave gevraagd wordt.
6. Rond je antwoord pas af in de Dus-zin, dus tussendoor NIET afronden.
   

Terugblik: Pythagoras of gonio

Hoek gevraagd?

• Weet je twee hoeken --> gebruik hoekensom.
• Weet je twee zijden --> gebruik (inverse) goniometrie. (sin^-1, cos^-1, tan^-1)

Zijde gevraagd?

• Weet je één zijde èn één hoek --> gebruik goniometrie. (sin, cos, tan)
• Weet je twee zijde -->, gebruik pythagoras.

Bij Rechthoekige driehoek

Maak een schets

Deze les en volgende les

Maken:

 H5: opgave 60 t/m 63

H10: opgave 41 t/m 49

Nakijken:

Alle huiswerk en aftekenen

Hoe ging het?

Welke leerdoelen ga jij nog aan werken?

0

0

0