Raaklijn en afgeleide

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4

Raaklijn en afgeleide

Afgeleide

Wat is GEEN juiste definitie van de afgeleide van een functie f(x)?

1. De snelheid waarmee f(x) verandert
2. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in een punt op f
3. De helling van de grafiek van f in een bijbehorend punt
4. De extreme waarde(n) van de grafiek van f

https:

Kies de juiste afgeleide van

f(x)=a​2​​x+ax​2​​

1. f​′​​(x)=2x
2. f​′​​(x)=a​2​​+2ax
3. f​′​​(x)=2a+2ax
4. f​′​​(x)=x+x​2​​

Wat gaan we leren deze les?

• Hoe werd vroeger de richtingscoefficient van een raaklijn bepaald (zonder limiet of afgeleide)?
• Wie heeft de differentiaalrekening bedacht en wanneer?
• Hoe werd gerekend met de afgeleide?
• Wat waren de problemen met de vroegere diferentiaalrekening?

Belangrijke wiskundige problemen in de 17e eeuw

• Heel veel (natuurkundige) problemen die men wilde oplossen hadden te maken met het beschrijven van beweging.
• Dit kwam neer op het bepalen van raaklijken aan krommen, het bepalen van maxima en minima en het bepalen van een oppervlakte onder een kromme.
• c.a. 1670 Isaac Newton en Gottfried Wilhelm Leibniz ontdekten methodes waarmee deze problemen opgelost konden worden: differentiaalrekening.

Wat was al bekend?

Newton kende de methodes van Rene Descartes (1596-1650) en Pieree de Fermat (1601-1665) voor het bepalen van de helling van een raaklijn aan een kromme. Hierbij werd een cirkel gebruikt die raakte in het betreffende punt op de kromme. De lijn loodrecht op de straal (de normaal) is de raaklijn aan de kromme. Maar waar ligt het middelpunt?

Opdracht 1

De normalen-methode

Bepaal de helling van de raaklijn aan                      bij

                 volgens de methode van Descartes  

(werkblad)

https://www.geogebra.org/m/rrccss98

y=x​2​​

x=3

Wat is het middelpunt van de cirkel en de helling van de raaklijn? Upload jouw foto.

De

Pierre de Fermat gebruikte de 'afgeleide' voor het eerst in specifieke problemen, zonder dat hij zich daar zelf echt bewust van was. Hij deed dit o.a. op de manier zoals wij dat gaan doen in opdracht 2.

Opdracht 2

In 1630 gebruikte Fermat een bijzondere manier om een maximum te vinden. Wij gaan deze manier proberen te volgen. Maak opdracht 2 op het werkblad.

Upload een foto van jouw uitwerking van onderdeel D

Isaac Newton (1642-1727)

Engelse boerenzoon met exentrieke persoonlijkheid .

Schreef veel, publiceerde weinig

Natuurkundige wetten en zwaartekracht

Alchemie en Magie

Optica

Ontwikkelde differentiaalrekening in 1665-'66 (hij was toen 23 jaar)

De ontdekking van de afgeleide

Isaac Newton ontdekte de afgeleide in 1665. Hij gebruikte daarvoor een natuurkundige methode met Fluents en Fluxies, waarbij het gaat over de beweging van deeltjes. Een  deeltje is op een bepaald moment op de positie (x, y). Newton noemde deze x en y FLUENTS. Een FLUENT is geen statische grootheid.

De ontdekking van de afgeleide

Het deeltje beweegt met een bepaalde snelheid 

  in x-richting en met een bepaalde snelheid       in y-richting. Newton noemde dit  FLUXIES. Het deeltje verplaatst zich in een zeer kleine tijdsverandering o

Probeer met Newton's Fluxies en Fluents de somregel en productregel af te leiden. Upload jouw oplossingen

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646- 1716)

• Filosoof en alchemist uit Duitsland
• Later meer wiskunde en natuurkunde (zelfstudie)
• Bouwen rekenmachine en binair getallenstelsel
• Begon in 1674 onafhankelijk van Newton met de differentiaalrekening ('infenitesimals') en publiceerde in 1684, eerder dan Newton

Wie krijgt de eer?

• Leibniz publiceerde zijn differentiaalrekening eerder dan Newton, maar werd beschuldigd van plagiaat. In 1708 ontstond hierover een grote strijd.
• Newton kreeg destijds, na een onderzoek, de eer als 'uitvinder', maar tegenwoordig wordt alleen de notatie van Leibniz gebruikt

Newton  

Leibniz

​dx​​dy​​

Het concept van de afgeleide

De methodes van Newton en Leibniz waren goed bruikbaar, maar vooral intuitief. Veel wiskundigen plaatsten kanttekeningen: Wat is een fluxie nou precies. Wat wordt bedoeld met een oneindig kleine hoeveelheid. Is het 0? Hoe kun je er dan door delen? Als het niet 0 is, welke fout maak je dan door termen met o weg te laten?

Er was veel moeite met deze tegenspraak.

Hoe kwam het goed?

Pas in de 19e eeuw werd er een wiskundig sluitende theorie voor dit probleem gevonden. Maar toch zijn de methoden van Newton en Leibniz prima bruikbaar geweest voor fantasische wiskundige ontwikkelingen.

Afsluiting van de les: schrijf op wat je deze les hebt geleerd en wat je van de les vond: