Differentiaalrekenen

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4

Differentiaalrekenen

Wat leer je allemaal dit hoofdstuk?

1. Hoe je extreme waarden berekent. 

2. Wat de betekenis is van de tweede afgeleide.

3. Wat buigpunten zijn en hoe je ze kunt vinden.

4. Afgeleide berekenen van machtsfuncties met gebroken en negatieve exponenten.

5. Kettingregel, productregel en quotiëntregel.

6. Rekenen aan grafieken die elkaar raken of elkaar loodrecht snijden.

Afgeleide berekenen

Hoe zat het ook alweer

f(x)=4x​3​​−7x​2​​+5x+8

Weet je deze ook nog?

h(x)=​x​2​​+1​​x​2​​−1​​

Maak opdracht 1 van de voorkennis

Je hebt 10 minuten. Het hoeft niet af, kijk hoe ver je komt.

Extreme waarde berekenen

Afgeleide = hellinggrafiek

Bereken de extreme waarde(n) van 

Geef bij elke extreme waarde aan of het gaat om een top of een dal.

f(x)=4x​3​​−9x​2​​−120x+150

Zelf aan de slag

Basisroute: 2, 3

Middenroute: 3, 4

Uitdagende route: 4, 5

Extreme waarde aantonen

Wat hebben we gisteren gedaan?

Bereken de extreme waarde van:

f(x)=x​2​​−4x

Nu:

Toon aan dat

een extreme waarde heeft voor x = 2,5

f(x)=x​4​​−6x​3​​+12x​2​​−10x+7

Zelf aan de slag

Alle routes maken opdracht 8 en 9

Buigpunten en buigraaklijnen

Buigpunten

Een punt waarop een grafiek van toenemend stijgend of dalend verandert in afnemend stijgend of dalend (of andersom) noemen we een 'buigpunt'. 

Eerst even denken

Je weet dat je de toppen van een grafiek kunt vinden door de afgeleide gelijk te stellen aan 0.

Waar vindt je de buigpunten terug in de afgeleide?

En hoe kun je dan uitrekenen waar de buigpunten zitten?

Zelf aan de slag

Basisroute:12, 13

Middenroute: 13, 14

Uitdagende route: 15, 16

Bij deze opgaven kom je het woord: buigraaklijn tegen. Dit is de raaklijn van een grafiek in het buigpunt.

De afgeleide

Vandaag: een beetje anders dan anders

Pak bladzijde 88 voor je

Maak opdracht 4 t/m 7 van de D-toets

En kijk het na ;-)

Opdracht 4 en 5 lastig? Kijk theorie A nog eens door.

Opdracht 6 en 7 lasig? Kijk theorie B nog eens door.

De kettingregel

Je kent als het goed is:

Productregel even herhalen

f(x)=(x​2​​+5)(3x−8)

Kettingregel

f(x)=(x​3​​−4x)​5​​

g(x)=√​(4x−2)​​​

Zelf aan de slag

Basisroute: 42, 44, 45

Middenroute: 43, 45, 48

Uitdagende route: 44, 46, 49

De kettingregel combineren

Je kent nu

1. Quotiëntregel

2. Productregel

3. Kettingregel

Maar wat doe je hiermee?

f(x)=​√​(4x−2)​​​​​(3x​2​​+4)​​

Of hiermee?

f(x)=(3x​2​​+2)(√​x−2​​​)

Zelf aan de slag

Basisroute: 55, 57, 60

Middenroute: 55, 58, 60

Uitdagende route: 55, 59, 61

Werken met parameters

Wat gaan we vandaag doen?

Opstellen van de raaklijn herhalen

Krommen door toppen herhalen

Raaklijnen

Stel de formule op van de raaklijn in x = 1 van de formule

Schrijf de stappen op (je hoeft ze niet uit te werken)

f(x)=x​2​​−2x+8

Kromme door toppen

Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen liggen van

Schrijf de stappen op (je hoeft ze niet uit te werken)

f(x)=x​2​​−px+8

Zelf aan de slag

Basisroute: 64, 71

Middenroute: 65, 72

Uitdagende route: 67, 73

Eindvraag

Je hebt gezien dat de raaklijn van een grafiek in het raakpunt dezelfde helling heeft als de grafiek. 

Wat vertelt dat je over twee krommen die elkaar raken?

Rakende grafieken

Eindvraag van maandag

Je hebt gezien dat de raaklijn van een grafiek in het raakpunt dezelfde helling heeft als de grafiek. 

Wat vertelt dat je over twee krommen die elkaar raken?

Bewijs dat de volgende grafieken een raakpunt hebben

en

f(x)=​3​​1​​x​3​​−x​2​​+5

g(x)=−x​2​​+9x−13

Zelf aan de slag

Basisroute: 76, 77

Middenroute: 77, 78

Uitdagende route: 78, 79

Loodrecht snijdende lijnen

Teken de lijn y = 3x + 4

Netjes, met geodriehoek en zo. 

Teken nu een lijn die daar loodrecht op staat. Wat is de helling van deze lijn?

Loodrecht snijdende lijnen

De lijnen l en k snijden elkaar loodrecht als in het snijpunt geldt dat:

rc​l​​⋅rc​k​​=−1

Loodrecht snijdende grafieken

Voor alle functies f(x) en g(x) geldt dat ze elkaar loodrecht snijden als geldt

f(x) = g(x) en f'(x) * g'(x) = -1

En dan nu de praktijk

en 

snijden elkaar loodrecht. Bereken exact de waarde van p én de coördinaten van het snijpunt.

f(x)=2√​x​​​

g(x)=​x​​p​​

Zelf aan de slag

Basisroute: 81, 82

Middenroute: 82, 83

Uitdagende route: 83, 84