15.2 A optimaliseren van lengten

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 6

15.2 A optimaliseren van lengten

Kennismaking examenwerkwoorden

d-notatie

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

1. Stel de formule op van de afstand tussen twee grafieken

De lijn x=p snijdt de grafieken f en g

L(p)=g(p)−f(p)

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

a. Bereken de minimale afstand

L(p)=g(p)−f(p)

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

a. Bereken de minimale afstand, 

rond zo nodig af op twee decimalen

L(p)=g(p)−f(p)

f(x)=sin(2x)−1

g(x)=2(cos(x))​2​​

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

a. Bereken de minimale afstand

rond zo nodig af op twee decimalen

calc -> minimum geeft

L(p)=g(p)−f(p)

f(x)=sin(2x)−1

g(x)=2(cos(x))​2​​

y​1​​=....

L≈0,59

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

a. Bereken met behulp van de afgeleide 

de minimale afstand, rond zo nodig af op 

twee decimalen

L(p)=2(cos(p))​2​​−sin(2p)+1

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

a. Bereken met behulp van de afgeleide 

de minimale afstand, rond zo nodig af op 

twee decimalen

L(p)=2(cos(p))​2​​−sin(2p)+1

​dp​​dL​​=−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

b. Bereken met behulp van de afgeleide 

de minimale afstand, rond zo nodig af op 

twee decimalen

calc -> zero geeft                                

L(p)=2(cos(p))​2​​−sin(2p)+1

​dp​​dL​​=−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)

y​1​​=...

p=1,178....

L(1,178.....)≈0,59

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

c. Bereken algebraïsch de maximale lengte van het lijnstuk L, 

rond af op twee decimalen 

L(p)=2(cos(p))​2​​−sin(2p)+1

​dp​​dL​​=−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

c. Bereken algebraïsch de maximale lengte van het lijnstuk L, 

rond af op twee decimalen 

L(p)=2(cos(p))​2​​−sin(2p)+1

​dp​​dL​​=−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)

−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)=0

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

c. Bereken algebraïsch de maximale lengte van het lijnstuk L, 

rond af op twee decimalen 

L(p)=2(cos(p))​2​​−sin(2p)+1

​dp​​dL​​=−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)

−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)=0

2sin(p)cos(p)=−cos(2p)

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

c. Bereken algebraïsch de maximale lengte van het lijnstuk L, 

rond af op twee decimalen 

L(p)=2(cos(p))​2​​−sin(2p)+1

​dp​​dL​​=−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)

−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)=0

2sin(p)cos(p)=−cos(2p)

sin(2p)=−cos(2p)

Rekenregel

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

c. Bereken algebraïsch de maximale lengte van het lijnstuk L, 

rond af op twee decimalen 

L(p)=2(cos(p))​2​​−sin(2p)+1

​dp​​dL​​=−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)

−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)=0

2sin(p)cos(p)=−cos(2p)

sin(2p)=−cos(2p)

Rekenregel

​cos(2p)​​sin(2p)​​=−1

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

c. Bereken algebraïsch de maximale lengte van het lijnstuk L, 

rond af op twee decimalen 

L(p)=2(cos(p))​2​​−sin(2p)+1

​dp​​dL​​=−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)

−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)=0

2sin(p)cos(p)=−cos(2p)

sin(2p)=−cos(2p)

Rekenregel

​cos(2p)​​sin(2p)​​=−1

tan(2p)=−1

Rekenregel

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

c. Bereken algebraïsch de maximale lengte van het lijnstuk L, 

rond af op twee decimalen 

L(p)=2(cos(p))​2​​−sin(2p)+1

​dp​​dL​​=−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)

−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)=0

2sin(p)cos(p)=−cos(2p)

sin(2p)=−cos(2p)

Rekenregel

​cos(2p)​​sin(2p)​​=−1

tan(2p)=−1

Rekenregel

2p=tan​−1​​(−1)

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

c. Bereken algebraïsch de maximale lengte van het lijnstuk L, 

rond af op twee decimalen 

L(p)=2(cos(p))​2​​−sin(2p)+1

​dp​​dL​​=−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)

−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)=0

2sin(p)cos(p)=−cos(2p)

sin(2p)=−cos(2p)

Rekenregel

​cos(2p)​​sin(2p)​​=−1

tan(2p)=−1

Rekenregel

2p=tan​−1​​(−1)

p=​2​​1​​tan​−1​​(−1)=2,748...

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

c. Bereken algebraïsch de maximale lengte van het lijnstuk L, 

rond af op twee decimalen 

L(p)=2(cos(p))​2​​−sin(2p)+1

​dp​​dL​​=−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)

−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)=0

2sin(p)cos(p)=−cos(2p)

sin(2p)=−cos(2p)

Rekenregel

​cos(2p)​​sin(2p)​​=−1

tan(2p)=−1

Rekenregel

2p=tan​−1​​(−1)

p=​2​​1​​tan​−1​​(−1)=2,748...

L(2,748...)≈3,41

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

d. Bereken exact voor welke p de lengte maximaal is

L(p)=2(cos(p))​2​​−sin(2p)+1

​dp​​dL​​=−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

d. Bereken exact voor welke p de lengte maximaal is

L(p)=2(cos(p))​2​​−sin(2p)+1

​dp​​dL​​=−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)

−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)=0

2sin(p)cos(p)=−cos(2p)

sin(2p)=−cos(2p)

Rekenregel

​cos(2p)​​sin(2p)​​=−1

tan(2p)=−1

Rekenregel

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

d. Bereken exact voor welke p de lengte maximaal is

L(p)=2(cos(p))​2​​−sin(2p)+1

​dp​​dL​​=−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)

−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)=0

2sin(p)cos(p)=−cos(2p)

sin(2p)=−cos(2p)

Rekenregel

​cos(2p)​​sin(2p)​​=−1

tan(2p)=−1

Rekenregel

2p=​4​​3​​π+k⋅π

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

d. Bereken exact voor welke p de lengte maximaal is

L(p)=2(cos(p))​2​​−sin(2p)+1

​dp​​dL​​=−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)

−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)=0

2sin(p)cos(p)=−cos(2p)

sin(2p)=−cos(2p)

Rekenregel

​cos(2p)​​sin(2p)​​=−1

tan(2p)=−1

Rekenregel

2p=​4​​3​​π+k⋅π

p=​8​​3​​π+k⋅​2​​1​​π

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

d. Bereken exact voor welke p de lengte maximaal is

L(p)=2(cos(p))​2​​−sin(2p)+1

​dp​​dL​​=−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)

−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)=0

2sin(p)cos(p)=−cos(2p)

sin(2p)=−cos(2p)

Rekenregel

​cos(2p)​​sin(2p)​​=−1

tan(2p)=−1

Rekenregel

2p=​4​​3​​π+k⋅π

p=​8​​3​​π+k⋅​2​​1​​π

p=​8​​3​​π∨p=​8​​7​​π

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

d. Bereken exact voor welke p de lengte maximaal is

Dus voor                                                           

L(p)=2(cos(p))​2​​−sin(2p)+1

​dp​​dL​​=−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)

−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)=0

2sin(p)cos(p)=−cos(2p)

sin(2p)=−cos(2p)

Rekenregel

​cos(2p)​​sin(2p)​​=−1

tan(2p)=−1

Rekenregel

2p=​4​​3​​π+k⋅π

p=​8​​3​​π+k⋅​2​​1​​π

p=​8​​3​​π∨p=​8​​7​​π

p=​8​​7​​π

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

d. Bereken exact voor welke p de lengte maximaal is

Dus voor                                                           

L(p)=2(cos(p))​2​​−sin(2p)+1

​dp​​dL​​=−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)

−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)=0

2sin(p)cos(p)=−cos(2p)

sin(2p)=−cos(2p)

Rekenregel

​cos(2p)​​sin(2p)​​=−1

tan(2p)=−1

Rekenregel

2p=​4​​3​​π+k⋅π

p=​8​​3​​π+k⋅​2​​1​​π

p=​8​​3​​π∨p=​8​​7​​π

p=​8​​7​​π

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

e. Toon aan dat de lengte minimaal is voor                   

                                                           

L(p)=2(cos(p))​2​​−sin(2p)+1

​dp​​dL​​=−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)

p=​8​​3​​π

Stappenplan optimaliseren lengte verticaal lijnstuk

2. Kijk verdraaid goed naar de vraag die gesteld wordt en voer deze uit

e. Toon aan dat de lengte minimaal is voor                   

Dus voor                                                           

L(p)=2(cos(p))​2​​−sin(2p)+1

​dp​​dL​​=−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)

−4sin(p)cos(p)−2cos(2p)=0

2sin(p)cos(p)=−cos(2p)

sin(2p)=−cos(2p)

Rekenregel

​cos(2p)​​sin(2p)​​=−1

tan(2p)=−1

Rekenregel

2p=​4​​3​​π+k⋅π

p=​8​​3​​π+k⋅​2​​1​​π

p=​8​​3​​π∨p=​8​​7​​π

p=​8​​3​​π

p=​8​​3​​π

De d-notatie

Niet zo heel spannend

Gebruik                                  bij 'normale' functie                      

en                                                     bij functies met andere letters

f​p​′​​(x)=

g​′​​(x)

y​′​​=

​dp​​dA​​=

​dr​​dQ​​=

​dm​​dn​​=