H11 Waarom ontbinden in factoren?

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo, vwo
• Leerjaar 2

Ontbinden in factoren

paragraaf 3

A x B = 0

Waarom gaan we een formule ontbinden in factoren?

Dit heeft te maken met het kunnen oplossen van vergelijkingen die met de formule kunnen worden gemaakt.

Oplossen vergelijking

Een aantal manieren om een vergelijking op te lossen heb je al geleerd:

• Bordjesmethode (brugklas hv)
• Omgekeerde pijlenketting (brugklas mh)
• Balansmethode (hoofdstuk 9)

Bordjesmethode

De bordjesmethode kunnen we gebruiken als slechts aan één kant van het =-teken een variabele staat. Je kunt dan een bordje plaatsen op het onbekende gedeelte en daar een getal op invullen zodat de berekening klopt.

Voorbeeld bordjesmethode

Los op: 7k - 38 = 67

Je kunt een bordje leggen op 7k

De vergelijking wordt dan  "iets" - 38 = 67

Dat "iets" moet 105 zijn want 105-38 = 67

Dat betekent dat 7k = 105

Je kunt nu een bordje leggen op k

De vergelijking wordt 7 x "getal" = 105

Het getal dat we zoeken is dan 15 want 7 x 15 = 105

Oplossing vergelijking:   k = 15

Los de volgende vergelijking op:
128 - 6a = 86

Oplossing schrijf je als "a = ..."

Balansmethode

Een vergelijking als "2b + 3 = b - 5" kun je niet oplossen met de bordjesmethode; je mag maar één bordje neerleggen. Voor dit soort vergelijkingen heb je de balansmethode geleerd. Je voert links en rechts van het =-teken precies dezelfde bewerking uit.

Voorbeeld balansmethode

Los de vergelijking "5 - 8k = 4k + 23" op.

Links en rechts  +8k

De vergelijking wordt 5 = 12k + 23

Links en rechts  -23

De vergelijking wordt nu -18 = 12k

Links en rechts  : 12

De oplossing wordt dan  -1,5 = k

Los de volgende vergelijking op:
18h - 7 = 47 + 6h

Nieuwe methode

Een vergelijking als

kunnen we nog niet oplossen. Er mag maar één bordje worden gelegd en er zijn twee stukken die we niet precies kennen. De balansmethode kan leiden tot         

      maar nog steeds niet op te lossen.  

2x​2​​−5x=0

2x​2​​=5x

Nieuwe methode: ontbinden in factoren

kunnen we oplossen door te ontbinden in factoren.

Ontbinden in factoren betekent namelijk dat je een optelling schrijft als een vermenigvuldiging (of haakjes tevoorschijn halen).

Wanneer bij een vermenigvuldiging de uitkomst 0 is, weet je dat één van de getallen (factoren) 0 moet zijn (vermenigvuldigen met 0 levert altijd een uitkomst 0). De regel die we dan toepassen is de titel van deze paragraaf: A x B = 0. Als de vermenigvuldiging van A met B de uitkomst 0 oplevert dan is A gelijk aan 0 of B is gelijk aan 0. Een andere mogelijkheid is er niet.

2x​2​​−5x=0

Voorbeeld ontbinden in factoren

Los op:

Ontbinden in factoren levert op:  x(2x - 5) = 0

De getallen die vermenigvuldigt worden zijn x en 2x-5

Eén van deze twee getallen moet 0 zijn anders klopt de berekening niet.

Dus: x = 0 of 2x -5 = 0

De oplossing wordt dan x = 0 of x = 2,5

2x​2​​−5x=0

Dit tweede stuk kun je met de bordjesmethode oplossen

Je vindt steeds twee oplossingen

Ontbind de vergelijking in factoren:

y=4x​2​​+12x

Wat zijn de factoren in de vergelijking?
3x(x-8)=0

Los de vergelijking op:
6t ( 5t - 15) = 0

Belangrijk

Voor het oplossen met de methode 'ontbinden in factoren' is het belangrijk dat de vergelijking als uitkomst 0 heeft. Het eerste dat je moet doen als je deze methode gaat gebruiken is dus de uitkomst 0 maken (dat kan door links en rechts dezelfde bewerking uit te voeren)

Voorbeeld

Los op: 

Oplossen met ontbinden, maar uitkomst is NIET 0.

Links en rechts -15x levert:

Ontbinden levert de factoren: 3x ( x + 2) = 0

Oplossen geeft  3x = 0 of x + 2 = 0

Verder rekenen tot x:   x = 0  of x = -2 

3x​2​​+21x=15x

3x​2​​+6x=0

Zoek de juiste combinaties

x ( 2x + 14) = 0

x (x - 6) = 0

x (9 + 3x) = 0

3x ( x - 7) = 0

x=0 of x= -7

x=0 of x=7

14x + 2x²= 0

3x² - 21x = 0

x=0 of x=6

x² - 4x = 2x

x= -3 of x=0

9x + 3x²= 0

Los de vergelijking op:
x² - 3x = 5x

Wat zijn de factoren in de volgende formule?
y = (3x - 12) (2x + 9)

Los op:
(4x + 12) (3x - 6) = 0

Plaats de vergelijking bij de juiste oplossing

x = 0 of x = 0,5

x = -3 of x = 4

x = -2 of x = 4

x = 0 of x = -4

x = 3 of x = 2

x = 0 of x = 2

3x (4 - 8x) = 0

(x + 3) (4 - x) = 0

(6x + 3) (x - 4) = 0

(x - 3) (4x - 8) = 0

5x (3x +12) = 0

2x (4x - 8) = 0

Einde les