H11 Oplossen vergelijkingen

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo, vwo
• Leerjaar 2

Oplossen vergelijkingen met ontbinden in factoren

A x B = 0

Waarom gaan we een formule ontbinden in factoren?

Dit heeft te maken met het kunnen oplossen van vergelijkingen die met de formule kunnen worden gemaakt.

Oplossen vergelijking

Je hebt nu meerdere methoden geleerd om verschillende vergelijkingen op te lossen:

• Bordjesmethode (brugklas hv)
• Omgekeerde pijlenketting (brugklas mh)
• Balansmethode (hoofdstuk 9)
• A x B = 0 (met ontbinden van factoren)

In de volgende dia's worden de methoden nog eens besproken.

Bordjesmethode

De bordjesmethode kunnen we gebruiken 

als slechts aan één kant van het =-teken 

een variabele staat. Je kunt dan een bordje 

plaatsen op het onbekende gedeelte en 

daar een getal op invullen zodat de 

berekening klopt.

Voorbeeld

In het voorbeeld is steeds het onbekende getal rood gekleurd.

Balansmethode

Een vergelijking als "2b + 3 = b - 5" kun je 

niet oplossen met de bordjesmethode; je 

mag maar één bordje neerleggen. Voor dit 

soort vergelijkingen heb je de balansmethode 

geleerd. Je voert links en rechts van 

het =-teken precies dezelfde bewerking uit.

Voorbeeld

In het voorbeeld is er voor gezorgd dat links en rechts van het =-teken hetzelfde blijft staan.

A x B = 0

Een vergelijking als

kon nog niet opgelost worden. Er mag maar één bordje worden gelegd en er zijn twee stukken die we niet precies kennen. De balansmethode kan leiden tot         

maar nog steeds niet op te lossen. Daarvoor heb je nu het ontbinden in factoren geleerd. Je schrijft een vermenigvuldiging en je zorgt ervoor dat de uitkomst 0 is; dan is één van de getallen 0!  

2x​2​​−5x=0

2x​2​​=5x

Ontbinden in factoren

In dit hoofdstuk heb je tot nu toe geleerd om twee- en drietermen te ontbinden, te schrijven als een vermenigvuldiging van twee getallen.

Soms moest je daarvoor gelijksoortige termen samen nemen.

Voorbeeld

Tweeterm

Drieterm

A x B = 0

Bij het oplossen met de regel A x B = 0 zie je dat steeds de getallen waarmee je vermenigvuldigt gelijkgesteld worden aan 0.

Hieruit blijkt wel dat het belangrijk is dat de uitkomst van de vergelijking gelijk moet zijn aan 0. Is de uitkomst niet gelijk aan 0, dan moet jij ervoor zorgen dat de uitkomst 0 wordt. (dit noem je 'herleiden')

Voorbeeld: herleid de vergelijking

De bovenstaande vergelijking heeft niet als uitkomst 0. Je moet nu links en rechts hetzelfde gaan uitvoeren zodat het rechtergedeelte van de vergelijking 0 wordt.

Dit wordt 

6x+2x​2​​=x​2​​−15x

21x+x​2​​=0

Nu kun je gaan ontbinden en daarna oplossen:

x ( 21 + x) = 0

x = 0 of 21 + x = 0

x = 0 of x = - 21

Herleid de vergelijking:

6x​2​​−3x=4x​2​​+12x

Herleid de vergelijking:

−3x​2​​−9x=13x−x​2​​

Herleid de vergelijking:

7x​2​​+18x=14x−4x​2​​

Herleid de vergelijking:

3x(7x−3)−8x=4x(6x+5)

Los de vergelijking op:
6t ( 5t - 15) = 0

Werkwijze oplossen vergelijkingen

1. Herleid de vergelijking (maak de uitkomst 0)
2. Neem gelijksoortige termen samen
3. Is de vergelijking op te lossen met de bordjesmethode?
   Ja? Los op met de bordjesmethode.
4. Is de vergelijking een tweeterm?
   Ja? Ontbind de tweeterm door de variabele buiten haakjes te halen.
   Los op met A x B = 0
5. Is de vergelijking een drieterm?
   Ja? Ontbind de drieterm met de product-som-methode.
   Los op met A x B = 0

Voorbeeld: los op 

1. Herleid op 0: 3x² + 21x - 15x = 0
2. Korter schrijven: 3x² + 6x = 0
3. Niet met bordjesmethode op te lossen
4. Het is een tweeterm; ontbinden levert x(3x + 6) = 0  (of 3x(x+2)=0)
   Oplossen met A x B = 0:  x = 0  of  3x + 6 = 0
                                        x = 0  of  3x = -6

                                          x = 0  of  x = -2

 

3x​2​​+21x=15x

Werk onder elkaar en schrijf steeds de twee oplossingen naast elkaar met 'of' ertussen.

Los de vergelijking op:
x² - 3x = 5x

Los de vergelijking op:
3x² - 4x = 11x

Los de vergelijking op:
22x² - 109x = 11x + 2x²

Wat zijn de factoren in de volgende formule?
y = (3x - 12) (2x + 9)

Los op:
(4x + 12) (3x - 6) = 0

Nog een voorbeeld

Los op: 2x² + 4x = x² + 5 

1. Herleiden op 0: 2x² - x² + 4x - 5 = 0
2. Korter schrijven: x² + 4x - 5 = 0
3. Bordjesmethode niet mogelijk
4. Is geen tweeterm
5. Drieterm ontbinden: (x + 5)(x - 1) = 0
   Dus x + 5 = 0   of   x - 1 = 0
         x = -5       of   x = 1 

Werk onder elkaar, noteer alle tussenstappen en schrijf steeds de twee oplossingen naast elkaar met 'of' ertussen.

Los de vergelijking op:
2x² + 24x - 3 = 2x² + 12x

Los de vergelijking op:
4x² + 24x - 3 = 2x² + -3 + 6x

Los de vergelijking op:
6x - 4x² + 24 = -5x² - 1 + 6x

Einde les