H.11 Ontbinden in factoren: Voorkennis, &11.1 en &11.2

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 2

Hoofdstuk 11

Ontbinden in factoren

Wat weten we nog?

Wat is een factor?

Wat is een product?

Tegengestelde bewerkingen

optellen is tegengesteld aan aftrekken

vermenigvuldigen is tegengesteld aan delen 

kwadrateren is tegengesteld aan worteltrekken

haakjes wegwerken is tegengesteld aan ontbinden

Ontbinden in factoren

In dit hoofdstuk gaan we dus het tegengestelde doen van haakjes wegwerken; we gaan de haakjes weer tevoorschijn halen.

Leerdoelen &11.1 + &11.2

- Je leert wat priemfactoren zijn.

- Je leert hoe je een formule ontbindt in factoren.

- Je leert hoe je een tweeterm ontbindt in factoren.

Voorkennis

- Onderdelen ban berekening

- Formules korter schrijven

- Haakjes wegwerken

Onderdelen van een berekening

12m + 2b - 5m = u

17 x 3 = 51

De variabele u is het resultaat van een optelling. U wordt de SOM van deze berekening genoemd

12m wordt in deze berekening opgeteld (bij -5m). Wanneer een getal onderdeel is van een optelling wordt het een TERM genoemd.

In een andere berekening kan 12m gezien worden als een PRODUCT: het resultaat van een vermenigvuldiging. 

51 is het PRODUCT. Het is het resultaat van een vermenigvuldiging. In dit geval van de 'gewone' getallen 3 en 17.

Je kunt ook een product vinden als 12m. Het resultaat van de vermenigvuldiging van 12 met m.

In deze berekening is 17 een FACTOR. Het getal wordt gebruikt in een vermenigvuldiging. De andere factor in deze rekensom is 3.

Schrijf de volgende formule korter:
4f + 7d + 19d - 13f - 2d + 6 = m

Schrijf de volgende formule korter:
4(17 - 2b) -2(5b + 3) = h

Schrijf de formule zonder haakjes:
t = 5(2r - 4,5)

Op welke manier kun je
de oppervlakte van het
grasveld berekenen?

1. Opp = 30 - 16a
2. Opp = 16 x 30 - 30a
3. Opp = 30 x 16a
4. Opp = 30 x 16 - a

Hoe werk je dubbele haakjes weg?

Schrijf zonder haakjes: c = (a + 7)(a - 3)

Vermenigvuldigingstabel

c=a​2​​+7a−3a−21

c=a​2​​+4a−21

3 manieren!

gebruik er één

Hoe werk je dubbele haakjes weg?

Schrijf zonder haakjes: c = (a + 7)(a - 3)

Vermenigvuldigingstabel

c=a​2​​+7a−3a−21

c=a​2​​+4a−21

Boogjesmethode

3 manieren!

gebruik er één

Hoe werk je dubbele haakjes weg?

Schrijf zonder haakjes: c = (a + 7)(a - 3)

Vermenigvuldigingstabel

c=a​2​​+7a−3a−21

c=a​2​​+4a−21

Boogjesmethode

Rechthoekmethode

3 manieren!

gebruik er één

Schrijf zonder haakjes:
y = (3x - 2)(x + 6)

Schrijf zonder haakjes:
y = (3x - 2)-2(x + 6)

 Ontbinden in factoren

&11.1.Priemgetallen?

+ een formule ontbindem in factoren.

&11.2.Tweetermen

2 soorten vragen

1 - Ontbind in zoveel mogelijk factoren groter dan 1

2 - Ontbind in 2 factoren

Voorbeeld

420 geschreven in zoveel mogelijk factoren wordt 2*2*3*5*7

Voorbeeld

420 geschreven in 2 factoren kan zijn 2*210 maar ook 12*35

Factor is een getal waarmee je vermenigvuldigt

Getallen met variabelen

Ook getallen met een variabele kunnen geschreven worden als product van zoveel mogelijk of als product van 2 factoren (dit hangt van de opdracht af).

Voorbeeld

42h² geschreven in zoveel mogelijk factoren wordt 2*3*7*h*h

42h² geschreven in twee factoren wordt 6h*7h  of  3h*14h

Schrijf 105 als product van 2 factoren

Schrijf 32a² als product van 2 factoren

De twee formules hierboven zijn vergelijkbaar omdat als je de haakjes wegwerkt bij de tweede formule de eerste formule ontstaat.

Andersom geldt natuurlijk ook: door de eerste formule te ontbinden ontstaat de tweede formule.

Belangrijk verschil tussen de twee formules is dat de eerste formule een optelling is (van de termen 3b en 12) en de tweede formule een vermenigvuldiging (van de factoren 3 en b+4).

a = 3b + 12       en      a = 3(b + 4)

a = 3b + 12

De bovenstaande formule is een optelling. Bij een optelling heb je te maken met termen. In deze formule worden twee getallen opgeteld: 3b en 12. 

De rechterkant van de formule wordt dan ook wel een tweeterm genoemd.

Ontbinden van tweetermen

Een tweeterm als "3b + 12" gaan we ontbinden in factoren. 

Daarvoor ga je kijken wat de twee termen (3b en 12) gemeenschappelijk hebben; soms is dat een getal, soms een variabele en soms een getal EN een variabele.

Het gemeenschappelijk deel van de twee termen ga je buiten haakjes halen en wat van de termen overblijft schrijf je tussen de haakjes.

Door te ontbinden heb je een optelling als een vermenigvuldiging geschreven.

Voorbeeld ontbinden tweeterm

Ontbind in factoren:      a = 6b + 21

Schrijf eerst elke term als product van zoveel mogelijk factoren:

a = 2*3*b   +  3*7

Je kunt nu zien dat 6b en 21 een 3 gemeenschappelijk hebben. Deze 3 haal je buiten de haakjes.

a = 3  ( 2*b  +  7)

Korter geschreven wordt dit a = 3 (2b + 7)

De optelling 6b + 21 is geschreven als vermenigvuldiging van 3 en 2b+7

Voorbeeld ontbinden tweeterm

Ontbind in factoren:      p = 18r + 32

Schrijf eerst elke term als product van zoveel mogelijk factoren:

p = 2*3*3*r   +  2*2*2*2*2

Je kunt nu zien dat 18r en 32 een 2 gemeenschappelijk hebben. Deze 2 haal je buiten de haakjes.

p = 2  ( 3*3*r  +  2*2*2*2)

Korter geschreven wordt dit p = 2 (9r + 16)

De optelling 18r + 32 is geschreven als vermenigvuldiging van 2 en 9r+16

Ontbind in factoren:
f = 15k + 21

a  =    6b + 21   =   3 (2b + 7)

Optelling

Vermenigvuldiging

Ontbinden tweeterm

Soms heb je een tweeterm waarin in beide termen een variabele staat. Je kunt dan (ook) de variabele buiten haakjes halen.

Voorbeeld ontbinden tweeterm

Ontbind in factoren:      p = 18r² + 5r

Schrijf eerst elke term als product van zoveel mogelijk factoren:

p = 2*3*3*r*r   +  5*r

Je kunt nu zien dat 18r² en 5r een r gemeenschappelijk hebben. Deze r haal je buiten de haakjes.

p = r  ( 2*3*3*r  +  5)

Korter geschreven wordt dit p = r (18r + 5)

De optelling 18r² + 5r is geschreven als vermenigvuldiging van r en 18r+5

Ontbind in factoren:
f = 14m² + 28m

m   =   18s² + 12s  =    3s (6s + 4)

Vermenigvuldiging

Optelling

Sleep de formules naar de juiste plaats.

Optelling

Vermenigvuldiging

y = 3x + 6

y = 2x - 16

a = 2 - 4b

y = 2(x+6)

b = 7(3+h)

y = -12(m - 6)

y = 2x² - 3x

k = 7p² + 3p

p = 2s(s+5)

Ontbinden tweeterm

Wanneer een optelling negatieve getallen heeft kun je ook een negatief getal buiten haakjes halen.

Voorbeeld

a = -42h + 21 

geschreven in zoveel mogelijk factoren wordt 

a = -7*2*3*h + -7*-3

geschreven als vermenigvuldiging:

a = -7 (2*3*h +  -3)   =    -7 (6h - 3) 

Ontbind in factoren:
f = 24p² - 16p

a = -42h + 21   =  -7 (6h + 3)

In welk antwoord is de formule
p = 24h² + 32h
op een juiste manier ontbonden in factoren?

1. p = 4h(6h + 8)
2. p = 8h(3h + 4)
3. p = 6h (4h + 7)
4. p = h(24h + 32)

Ontbind in factoren:
q = r² + 3r

Ontbind in factoren:
j = 26t² - 39t

De formule e = 12t² + 32t kun je ontbinden als
e = 2t(6t + 16).
Geef nog een ontbinding die juist is.

Controle

Wanneer je dit soort  opdrachten lastig vindt, kun je je antwoord zelf controleren door de haakjes weg te werken. 

De formule waarmee je begonnen bent moet dan weer te voor schijn komen.

Om haakjes weg te werken heb je 3 methoden geleerd.

Opdrachten week 1

Maak de opdrachten Voorkennis, &11.1 en &11.2

extra uitleg nodig?

Kijk naar het filmpje en maak de ondersteunende route in je boek.