H6.1 Raaklijnen en toppen

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4

Hoofdstuk 5

1. Ken de machtregels, bij hele, negatieve en gebroken machten.

2. Translaties van machtsfuncties.

3. Bij wortelfucties moet je denken aan het randpunt, domein en bereik en bij een vergelijking controleren of de oplossing voldoet.

Rekenregels machten

Spelen met getallen

Reken regels machten

voorbeeld

Rekenregels machten

voorbeeld

H6 De afgeleide functie

H5 wat moet je weten en zijn er nog vragen

H6 Voorkennis: Theorie A Helling en afgeleide

6.1 raaklijnen en toppen

6.2 de afgeleide van machtsfuncties

6.3 de afgeleide van samengestelde functies

6.4 optimaliseren

Voorkennis Theorie A: Helling en afgeleide

• Het differentie quotiënt
• Snelheid en richtingscoëfficiënt
  
• Hellingsgrafiek en afgeleide functie
  
• Regels voor de afgeleide
  

Doelen: je leert

• Welke soorten van stijgen en dalen er zijn (= differentie).
• Wat is een horizontale en verticale asymptoot
• Bij een tijd-afstand grafiek de gemiddelde snelheid berekenen.
• Wat differentie quotiënten zijn en hoe je die berekent bij een functievoorschrift/formule.

Differentiequotiënt

 Differentie quotiënt

Asymptoot?

• Horizontale asymptoot
  

             de vergelijking volgt uit: y = ...

             je vindt het door  hele grote positieve of

             negatieve getallen in de functie invullen.

             de uitkomst is de waarde waar de functie uiteindelijk                     naar toe gaat = y-waarde van de asymptoot.

• Verticale asymptoot     

             de vergelijking volgt uit: x = ...

             je vindt het door op zoek naar de waarde

             van x, waar de functie niet bestaat.

             Dit is bij gebroken functies de waarde van x, waarbij de

             noemer nul is.

horizontale en verticale asymptoot

         de vergelijking volgt uit: 

         hele grote positieve/negatieve getallen                 invullen gaat richting y = 3. 

         de uitkomst is de waarde waar de functie             uiteindelijk naar toe gaat = y-waarde van               de asymptoot.

                                                                                    

           

           x = 1  dus bij de verticale asymptoot x = 1 

f(x)=​x−1​​(3x+2)​​

f(x)=​1−1​​(3⋅1+2)​​=geen​−​​waarde

horizontale en het bereik van de functie

              

             

              hele grote positieve/negatieve getallen                 invullen gaat richting y = -3. 

             

            Het bereik van de functie, alle mogelijke

             y-waarden, is  alles groter dan –3 of 

            het bereik: y > –3

f(x)=(​3​​1​​)​x​​−3

verticale asymptoot van de functie

              

             

              verticale asymptoot vinden. moet de                       volgende vergelijking worden opgelost: 

               2x + 10 = 0.   x = -5. 

              dus verticale asymptoot x =  x = –5

f(x)=−3+log(2x+10)

uitleg differentie quotiënt wa       

differentie (verschil) + quotiënt (delen)

                       = gemiddelde verandering

Differentiequotiënt van y op  interval [-2,0] is:

           1. Δy : Δx  : xb = 0 en yb = 3       y = 3 - 0

                                xa = -2 en ya = 0        x = 0--2 = 2

               

           2. diff.quot. van y op [2,3]

           3. gemidd. verandering van y op [2,3]

           4. r.c. of helling van AB = 3: 2 = 1,5   

 Differentie quotiënt

Δx = -2 naar 0 = 2

Δy = 0 naar 3 = 3

y=−(​2​​1​​x)+4

A

B

Differentie-quotiënt (DQ)

• Stijgt de grafiek constant op [-1,2]?                

       Ja stijgt redelijk constant

• Wat is de gemiddelde stijging [-1, 2]? 

       xb = 2   en    yb = 30

       xa = -1   en  ya = -50

               30--50 = 80

                2 --1     = 3

       

       DQ = richtingscoëfficiënt: 80: 3 = 26 2/3 

Gemiddelde snelheid & r.c.

theorie A,B,C

• gemiddelde verandering op  [xA,xB]
• gemiddelde snelheid op [xA,xB]
• differentie quotiënt op [xA,xB]
• richtingscoëfficiënt of helling van lijn AB

één formule:

​Δx​​Δy​​=​x​B​​−x​A​​​​y​B​​−y​A​​​​

Hellinggrafiek & afgeleide functie

Helling; differentiëren; afgeleide functie

De afgeleide functie

Bewijs f'(2) = 4   als 

Stel m.b.v. de afgeleide de formule op v/d raaklijn k:y = ax+b in het punt P. 

Δ y : Δ x :     

f‵(x)= x2 dus  x2 = f‵(x)= (x+h)2

• punt dat limiet wordt! 
• h =oneindig klein maar h = nooit 0 

 f(x) = axn                f'(x) = n . axn-1

Interval van twee coördinaten de grafiek

raken :   (x ; f(x))  en (x+h ; (f(x+h)  

   

 f'(2) = 4 

f(x)=​h​​(f(x+h)−f(x))​​

f(2)lim​h​​(4+4h+h​2−​​4)​​=h+4

f(2)=lim​h​​(f(2+h)​2​​−f(2))​2​​​​

f(x)=x​2​​

Bereken de afgeleide van f(x)= x2

Stel m.b.v. de afgeleide de formule op v/d raaklijn k: y= ax+b in het punt P.

Δ y : Δ x 

f‵(x)= x2 dus  x2 = f‵(x)= (x+h)2

• punt dat limiet wordt!
• h= oneindig klein maar h = nooit 0 

 f(x) = axn            f'(x) = n . axn-1

we weten: Interval van twee coördinaten de grafiek raken :   (x ; f(x))  en (x+h ; (f(x+h)  

    f'(x) = 2x als h =0 

f(x)=​h​​(x+h)−x​​

f(x)lim​h​​x​2​​+2xh+h​2−​​x​2​​​​=2x+h=2x

f(x)=lim​h​​(f(2−h)​2​​−f(2))​2​​​​

Voorbeeld  extreme waarden berekenen

f(x)= a      geeft de afgeleide f'(x) = 0

f(x)= ax    geeft de afgeleide f'(x) = x

f(x)= axn geeft de afgeleide 

                                                 f'(x) = n . axn-1

f(x)= axn +bx + c             f'(x) = n . axn-1

 f(x)= 0,5x3 – 4x + 3   waarbij a= 0,5 en n =3          

a= 0,5 x 3   = 1,5x2

-4x =            = 4                   f ' (x) = 1,5x2 – 4

c =+ 3           =  --

formule raaklijn y = ax + b? 

1. zoek twee punten f(x)= 0,5x3 – 4x + 3  

    (-3,1) en (-2,7)

2. bepaal de r.c:  6

               

3. bepaal b:  vul (-3.1) in de y = 6x+ b

     1 = (-3x6) + b        b =19

4. y = 6x + 19    

verschil y; 7 -1 = 6   en   verschil x; -2--3=1

Stel m.b.v. de afgeleide de formule op v/d raaklijn k: y = ax + b in het punt P.

De functie f(x)= 0,5x3 – 4x + 3.

Op de grafiek van f ligt het punt P met x = –2

afgeleide f(x) = axn             f'(x) = n . axn-1

1. Bereken eerst de afgeleide.

    f(x)= 0,5x3 – 4x + 3.              f ' (x) = 1,5x2 – 4

2. Bereken nu  a. = r.c. van punt P met x=-2.

    f'(x) = 1,5x2 - 4              a = 1,5(–2)2 - 4 =  2

3. Bereken de  y-coördinaat van punt P.

    f (–2) = 0,5(–2)3 – 4 · (–2) + 3 = 7

4. Bereken nu  b van de lijn k : y = ax + b 

 7 = 2 · (–2) + b      7 = –4 + b        b = 11

     

                       y = 2x + 11

H6.2 De afgeleide functie van machtsfunctie

H5 wat moet je weten en zijn er nog vragen

H6 Voorkennis: Theorie A Helling en afgeleide

6.1 Theorie B: raaklijnen en toppen m.b.v. de afgeleide

6.2 Theorie C: de afgeleide van machtsfuncties

6.3 Theorie D: de afgeleide van samengestelde functies

6.4 optimaliseren