K4.1-K4.2. Ruimtetijd-diagram (opg.2-5)

• Natuurkunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 5

Les 2. K4.1 - K42

Deze les:

• De laatste dia's van les 1 waar we gisteren niet aan toe kwamen. (opg.1)
• D1. Tijdrek en lengtekrimp toepassen (opg.2-4)
• D2. Ruimtetijd-diagram in klassieke situaties (huiswerk opg.6-8)

Tijdrek

• Δtb = 𝛾 Δte : In het stelsel dat beweegt is de tijd Δtb gerekt.
• De eigentijd wordt gemeten in het ruststelsel van het proces:
• Trein: Het proces is: licht weerkaatst tegen bovenste spiegel
• De trein is in rust t.o.v. de bovenste spiegel. -> Bruce meet tijdrek.
• Muonen: Het proces is: de muon veroudert
• De muon is in rust t.o.v. zichzelf. De gemiddelde leeftijd van 2,2 μs is een eigentijd in het stelsel van de muon. De waarnemer op aarde meet tijdrek.

Muonen verklaard met lengtekrimp

• In het stelsel van de muon beweegt de atmosfeer met een lengte van 10 km met v = 0,999 c naar de muon toe.
• De eigenlengte van de atmosfeer is Le = 10 km.
• De muon ziet de gekrompen atmosfeer Lb = 440 m met 0,999 c op hem afkomen en de 'achterkant', het aardoppervlak, kan hem ruimschoots bereiken binnen zijn gemiddelde levensduur.
  

Lengtekrimp

• Lb = Le / 𝛾: In het stelsel dat beweegt is de lengte Lb gekrompen.
• De eigenlengte wordt gemeten in het ruststelsel van het voorwerp / de afstand (in rust t.o.v. begin- en eindpunt):
• Muonen: De atmosfeer is 10 km, gemeten door een waarnemer die stilstaat t.o.v. de atmosfeer, bijv. een waarnemer op aarde. De eigenlengte van de atmosfeer is Le = 10 km. De muon ziet de gekrompen atmosfeer Lb = 440 m.

Huiswerk opgave 1a

• Het vliegtuig is in stilstand gemeten 15 m.
• Dat is dus de eigenlengte Le = 15 m.
• Voor de waarnemer op aarde beweegt het vliegtuig met snelheid 0,50 c en dus neemt deze waarnemer de gekrompen lengte Lb waar.
• Bereken 𝛾 = 1 / √ (1 - 0,502) = 1,154
• Bereken Lb = Le / 𝛾 = 15 / 1,154 = 12,99 = 13 m

Huiswerk opgave 1b

• We weten van de a-vraag wat Le en Lb is.
• Gegeven is Le = 15 m en Lb = 7,5 m
• Bereken 𝛾 = Le / Lb = 15 / 7,5 = 2,0
• Hoe bereken je nu uit 𝛾 = 2,0 de snelheid v?
• Kies een handige manier en oefen die!

Bereken v  voor 𝛾 = 2,0 (overzichtelijk en handig)

• Houdt berekeningen overzichtelijk met de hulpvariabele ꞵ = v / c:
• 𝛾 = 1 / √ (1 - ꞵ2)  invullen -> 
• 2,0 = 1 / √ (1 - ꞵ2)  kwadrateren -> 
• 4,0 = 1 / (1 - ꞵ2)  'switch': delen door 4,0 en vermenigvuldigen met 1-ꞵ2 ->
• 1 - ꞵ2 = 1 / 4,0  en nu gaat het verder gemakkelijk ->
• ꞵ2 = 1 - 1 / 4,0 = 0,75
• ꞵ = 0,886,  v = 0,886 c. (naar m/s hoeft niet, je mag c laten staan)

Hoe groot is de relativistische factor (ongeveer) bij v = 0,80 c?

1. 1,2
2. 1,5
3. 1,7
4. 2,3

Een raket beweegt met snelheid v van de aarde af. Er wordt een lichtpuls uit de raket naar de aarde gezonden. Op aarde meten wij de snelheid van deze puls als:

1. c
2. c + v
3. c - v
4. v

Wat is de eigenlengte van een voorwerp?

Een lichtseconde is

1. een afstandsmaat
2. een tijdseenheid
3. een snelheidsmaat
4. geen idee

De afstand die met snelheid v = 0,50 c wordt afgelegd in een minuut is:

1. 60 lichtseconden
2. 30 lichtseconden
3. 1 lichtminuten
4. 2 lichtminuten

De Melkweg, ons sterrenstelsel, heeft een diameter van ongeveer 100.000 lichtjaren. Kan iemand in één mensenleven met hoge snelheid de Melkweg doorkruisen van de ene naar de andere kant?

1. Ja
2. Nee

Opgave 2. Raket met astronaut

• Standaard situatie

Opgave 3a

• Astronaut Buzz reist met v = 0,60 c t.o.v. de aarde en vertelt een boodschap van 45 seconden.
• Voor v = 0,60 c berekenen we 𝛾 = 1,25
• Is die 45 seconden een eigentijd?
• Buzz is in rust t.o.v. het proces van het vertellen van de boodschap. De 45 seconden is de eigentijd in het referentiestelsel van Buzz: Δt_e = 45 s
• De waarnemer op aarde (controlepost) ervaart gerekte tijd en ontvangt een boodschap van Δt_b = 𝛾 Δt_e = 1,25 . 45 = 56 s

Opgave 3b,c

• De trillingstijd van tonen in de boodschap van Buzz worden op aarde groter: T wordt groter.
• f = 1 / T dus wordt de frequentie van de tonen kleiner: f wordt lager
• De noemen dit een lagere toon(hoogte).
• Vraag c
• De factor waarmee T groter en f kleiner wordt is de relativistische factor.
• De hartslag met f_e = 70 min^-1 wordt op aarde waargenomen als f_b = f_e / 𝛾
• f_b = 70 / 1,25 = 56 min^-1

Opgave 4

• Vergelijk met Muonen experiment:
• Op aarde weet je de tijd van de eerste gebeurtenis (de muon ontstaat bovenin de atmosfeer) niet.

Opgave 5

• Vergelijk met Trein-tunnel gedachtenexperiment.
• In het referentiestelsel van de (waarnemer op) aarde wordt de trein gekrompen waargenomen.

Opg5. de trein-tunnel paradox

• Een trein van 200m rijdt door een tunnel van 150m.
• In het referentiestelsel van de tunnel (aarde) past de trein in de tunnel!
• Zijn die 200m en 150m eigenlengtes?
• Ja, dat zijn beide eigenlengtes.
• In het referentiestelsel van de aarde wordt de trein gekrompen waargenomen: L_b,trein = L_e,trein / 𝛾 en moet de gekrompen lengte passen in de lengte van de tunnel (zoals men die op aarde ziet, dus in 150m). 
• We kunnen nu 𝛾 berekenen: 150 = 200 / 𝛾. Dus 𝛾 = 1,333.
• Zie eerdere dia over het handig bereken van v voor een bekende 𝛾.

Ruimtetijd

Ruimte en tijd vormen één geheel, de ruimtetijd. Voor iedere waarnemer is dit geheel op een andere manier opgedeeld in ruimte en tijd - steeds op zo'n manier dat de lichtsnelheid voor iedere waarnemer even groot is.

(Van Marcel Vonk, quantumuniverse.nl)

D2. Ruimtetijd-diagram

• We beginnen bij wat we kennen: het (x,t)-diagram
• De eerst aanpassing die we maken is de assen verwisselen.
• Ieder punt in het (t,x) ruimtetijd-diagram is een gebeurtenis.
• De gebeurtenissen van een voorwerp vormen een wereldlijn.
• In het referentiestelsel van de boom is de tijd-as de wereldlijn van de boom. (x=0: je staat stil in jouw eigen referentiestelsel)

Ruimtetijd-diagram

• We tekenen het referentiestelsel van de boom.
• Het huis staat op een vaste positie 8 meter naar links.
• De hond loopt met constante snelheid naar links.
• De steilheid geeft de snelheid: v = Δx / Δt, alleen nu is sneller minder steil.

Diagrammen: de eerste en tweede stap

• Om met de diagrammen te leren werken beginnen we met experimenten uit de klassieke mechanica (theorie tot lichtkegel, opgaven 8-9).
• Daarna doen we nog een aanpassing aan de tijd-as om snelheden in de buurt van de lichtsnelheid duidelijk te kunnen weergeven.
• En in paragraaf 3 tekenen we twee referentiestelsel in hetzelfde diagram. Daarna kunnen we experimenten met relativistische mechanica weergeven.

Ga oefenen met deze diagrammen

• In het boek staat in de tekst van paragraaf K4.2 het diagram met de Boom en met de Hond als referentiestelsel.
• In opgave 8 wordt gevraagd of jij het diagram kan maken met het referentiestelsel van het Huis en daarbij tijden kan berekenen.

Huiswerk

Bestudeer K4.2 (p.18-20 tot de lichtkegel)

Maak opgaven 8, 9, 10