H7: Meetkunde met coördinaten

Meetkunde met coördinaten

1 / 55

Slide 1: Slide

WiskundeMiddelbare schoolvwoLeerjaar 4

This lesson contains 55 slides, with text slides.

Lesson duration is: 60 min

Items in this lesson

Meetkunde met coördinaten

Slide 1 - Slide

Wat ga je vandaag leren

Wat strijdige, afhankelijke en onafhankelijk vergelijkingen zijn.

Wat de assenvergelijking van een lijn is en hoe je die opstelt

Slide 2 - Slide

Stelsels vergelijkingen oplossen

Wat gebeurt er als je het stelsel

oplost?

{​ 2 x - 3 y = 5 ​ 4 x - 6 y = 7 ​ ​

Slide 3 - Slide

Stelsels vergelijkingen oplossen

En wat gebeurt er bij:

{​ 2 x - 3 y = 5 ​ 4 x - 6 y = 10 ​ ​

Slide 4 - Slide

Algemeen

De lijnen ax + by = c en px + qy = r zijn:

1. Strijdig of evenwijdig als

2. Afhankelijk of samenvallend als

3. Onafhankelijk als

\frac{​ a ​ ​}{​ p ​} = \frac{​ b ​ ​}{​ q ​} \neq \frac{​ c ​ ​}{​ r ​}

\frac{​ a ​ ​}{​ p ​} = \frac{​ b ​ ​}{​ q ​} = \frac{​ c ​ ​}{​ r ​}

\frac{​ a ​ ​}{​ p ​} \neq \frac{​ b ​ ​}{​ q ​}

Slide 5 - Slide

Assenvergelijking

Gegeven is de vergelijking:

Welke snijpunten met de assen heeft deze vergelijking?

\frac{​ x ​ ​}{​ a ​} + \frac{​ y ​ ​}{​ b ​} = 1

Slide 6 - Slide

Voorbeeldopgave

De lijn k snijdt de x-as in het punt (6,0) en de y-as in (0, q).

a) Stel een formule op van lijn k in de vorm ax + by = c

b) Voor welke waarde van q is lijn k evenwijdig met de lijn

l: y = 3x + 2?

Slide 7 - Slide

Zelf aan de slag

Alle routes maken opdracht 3, 4, 7, 8 en 9

Slide 8 - Slide

Hoek tussen 2 lijnen

Slide 9 - Slide

Wat ga je vandaag leren

Hoe je de hoek tussen 2 lijnen berekent

Slide 10 - Slide

Teken de lijn

Hoe zou je (zelf) de hoek berekenen tussen deze lijn en de x-as?

Valt je iets op als je jouw berekening vergelijkt met de formule voor de lijn?

y = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} x - 1

Slide 11 - Slide

Vervolg

1. Bereken ook de hoek tussen de x-as en de lijn

2. Hoe groot is nu de hoek tussen de 2 lijnen?

y = \frac{​ 3 ​ ​}{​ 4 ​} x + 1, 5

Slide 12 - Slide

Samenvattend

De hellingshoek van een lijn kan berekend worden met

De hoek tussen 2 lijnen en is altijd kleiner dan 90 graden.

tan (a) = r c

ϕ

β

α

Slide 13 - Slide

Zelf aan de slag

Iedereen maakt opdracht 13, 14, 15

Slide 14 - Slide

Afstand tussen punt en punt en punt en lijn

Slide 15 - Slide

Wat ga je vandaag leren

Hoe je de afstand berekent tussen 2 punten

Hoe je de afstand berekent tussen een punt en een lijn

Slide 16 - Slide

Gegeven zijn de punten A(2, 4) en B(4, 6)

Hoe zou je, anders dan opmeten, de afstand tussen punt A en punt B kunnen uitrekenen?

Slide 17 - Slide

Vervolg

Bereken de afstand tussen het punt P (5,5) en de lijn k: y = 2x - 4

Slide 18 - Slide

Afstand punt P tot lijn l

Stap 1: stel een formule op van de loodrechte projectie k van het punt P op de lijn l*.

Stap 2: bereken het snijpunt van de lijn l en de loodrechte projectie k.

Stap 3: Bepaal de afstand tussen het punt P en de loodrechte projectie P'.

* Let op: ax + by = c staat loodrecht op bx - ay = d

Slide 19 - Slide

Zelf aan de slag

Basisroute: 19, 24, 25, 26

Middenroute: 20, 25, 26, 27

Uitdagende route: 21, 26, 27, 28

Slide 20 - Slide

De afstandsformule

Slide 21 - Slide

Wat ga je vandaag leren

Hoe je de afstand berekent van een punt tot een lijn in de vorm ax + by = c

Slide 22 - Slide

De afstandsformule

Laten we dit eens uitpluizen voor P(4, 6) en k: 3x + 4y = -5

Hoe vind ik alle punten op de x-as met afstand 3 tot de lijn

3x + 4y = -5?

Slide 23 - Slide

Zelf aan de slag

Basisroute: 32, 33, 34, 35

Middenroute: 33, 34, 35, 36

Uitdagende route: 34, 35, 36, 37

Slide 24 - Slide

Cirkelvergelijkingen

Slide 25 - Slide

Wat ga je vandaag leren

Hoe je de formule opstelt van een cirkel

Slide 26 - Slide

Wat weet je al?

1. Je kunt de afstand tussen 2 punten berekenen.

2. Je weet hoe je de afstand tussen een punt en een lijn moet berekenen.

3. Je weet dat de raaklijn aan een cirkel loodrecht op de straal van de cirkel staat.

Slide 27 - Slide

Nu verder met cirkels

Gegeven is een cirkel met middelpunt M (Xm, Ym) en de cirkel met alle punten (x, y) waarvoor de afstand tot M gelijk is aan 3.

Hoe kun je, met behulp van de afstandsformules, een formule opstellen voor deze cirkel?

Slide 28 - Slide

Voor een willekeurig punt P op de cirkel geldt

Dat betekent dat

\sqrt ​ (x^{​ P ​ ​} - x^{​ M ​ ​})^{​ 2 ​ ​} + (y^{​ P ​ ​} - y^{​ M ​ ​})^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​ = r

(x^{​ P ​ ​} - x^{​ M ​ ​})^{​ 2 ​ ​} + (y^{​ P ​ ​} - y^{​ M ​ ​})^{​ 2 ​ ​} = r^{​ 2 ​ ​}

Slide 29 - Slide

Wat ga je vandaag leren

Hoe je de afstand berekent tussen een punt en een cirkel

Slide 30 - Slide

Bijvoorbeeld

Gegeven is

met daarop M1 en M2.

Cirkels c1 en c2 hebben allebei een

straal van 3 cm en raken de x-as.

Stel een formule op van c1 en c2.

k : y = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} x - 2

Slide 31 - Slide

Zelf aan de slag

Basisroute: 40, 41, 43, 46, 47

Middenroute: 41, 42, 43, 47, 48

Uitdagende route: 42, 43, 44, 48, 49

Slide 32 - Slide

Cirkelvergelijkingen deel 2

Slide 33 - Slide

Wat ga je vandaag leren

Hoe je het middelpunt van de cirkel vindt bij de vorm

x^{​ 2 ​ ​} + y^{​ 2 ​ ​} + a x + b y + c = 0

Slide 34 - Slide

Vorige les hebben we dit gezien:

(x^{​ P ​ ​} - x^{​ M ​ ​})^{​ 2 ​ ​} + (y^{​ P ​ ​} - y^{​ M ​ ​})^{​ 2 ​ ​} = r^{​ 2 ​ ​}

Slide 35 - Slide

Maar wat nou als je de straal en het middelpunt wilt weten van

c : x^{​ 2 ​ ​} + y^{​ 2 ​ ​} + 8 x - 3 y + 6 = 0

Slide 36 - Slide

Uitdaging

Van de cirkel c:

is de straal 10 en ligt het middelpunt op de lijn k: x + 2y = 1. Bereken a en b algebraïsch.

x^{​ 2 ​ ​} + y^{​ 2 ​ ​} + a x + b y = 71

Slide 37 - Slide

Zelf aan de slag

Basisroute: 52, 53, 54

Middenroute: 52, 53, 54

Uitdagende route: 53, 54, 55

Slide 38 - Slide

Afstanden bij cirkels

Slide 39 - Slide

Wat ga je vandaag leren

Hoe je de afstand berekent tussen een punt en een cirkel

Slide 40 - Slide

Afstand punt tot cirkel

Kortste stuk tussen punt en cirkel met

straal r.

Voor een punt binnen de cirkel geldt:

d(A, c) = r - d(A, M)

Voor een punt buiten de cirkel geldt:

d(B, c) = d(B, M) - r

Slide 41 - Slide

Bereken de afstand tussen c1 en c2

Op lijn k: x + 4y = 16 ligt punt M

met Xm = 2 en punt N met Xn = 8.

De cirkels met middelpunten M en

N raken de X-as.

Slide 42 - Slide

Uitdaging

Slide 43 - Slide

Zelf aan de slag

Basisroute: 58, 59, 60, 61

Middenroute: 59, 60, 61, 62

Uitdagende route: 60, 61, 62, 63

Slide 44 - Slide

Raaklijnen aan cirkels

Slide 45 - Slide

Wat ga je vandaag leren

Hoe je gebruik maakt van raaklijnen aan cirkels

Slide 46 - Slide

Tijd om (bijna) alles samen te voegen

Gegeven is het punt A(2, 3) en de

cirkel

Stel de formule op van de lijn k

die de cirkel raakt in punt A.

c : (x - 3)^{​ 2 ​ ​} + (y - 1)^{​ 2 ​ ​} = 5

Slide 47 - Slide

Zelf aan de slag

Alle routes maken 66, 67, 68, 69

Slide 48 - Slide

Raaklijnen aan cirkels deel 2

Slide 49 - Slide

Wat ga je vandaag leren

Hoe je de formule op kunt stellen van een lijn die de cirkel raakt.

Slide 50 - Slide

Tot slot: raaklijnen aan cirkels

Gegeven is de cirkel

en het punt A(9, 2).

Stel de formule op van de lijnen die door A gaan en de cirkel raken.

c : (x - 2)^{​ 2 ​ ​} + (y - 3)^{​ 2 ​ ​} = 25

Slide 51 - Slide

Zelf aan de slag

Basisroute: 71, 72, 73

Middenroute: 72, 73, 74

Uitdagende route: 73, 74, 75

Slide 52 - Slide

(Onvolledige) Samenvatting

Slide 53 - Slide

Aandachtspunten afstanden

Afstand punt tot punt:

Afstand punt tot lijn:

- Optie 1 voor y = ax+b: maak een loodrechte lijn op y en bereken de afstand tussen het punt en het snijpunt.

- Optie 2 voor ax + by = c:

Afstand punt tot cirkel: afstand van het punt tot het middelpunt, min de straal.

d (A, B) = \sqrt ​ (x^{​ a - ​ ​} x^{​ b ​ ​})^{​ 2 ​ ​} + (y^{​ a ​ ​} - y^{​ b ​ ​})^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

d (P, k) = \frac{​ ∣ a x ^{​ p ​ ​} + b y ^{​ p ​ ​} - c ∣ ​ ​}{​ \sqrt ​ a ^{​ 2 ​ ​} + b ^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​ ​}

Slide 54 - Slide

Aandachtspunten cirkels

Raaklijn aan een cirkel met een punt OP de cirkel:

formule opstellen van de lijn door middelpunt en raakpunt, raaklijn daar loodrecht op.

Raaklijn aan cirkel door een punt BUITEN de cirkel:

y = ax + b door dat punt, omschrijven naar ax + by = c en afstandsformule gebruiken.

Slide 55 - Slide

H7: Meetkunde met coördinaten

Items in this lesson

Slide 1 - Slide

Slide 2 - Slide

Slide 3 - Slide

Slide 4 - Slide

Slide 5 - Slide

Slide 6 - Slide

Slide 7 - Slide

Slide 8 - Slide

Slide 9 - Slide

Slide 10 - Slide

Slide 11 - Slide

Slide 12 - Slide

Slide 13 - Slide

Slide 14 - Slide

Slide 15 - Slide

Slide 16 - Slide

Slide 17 - Slide

Slide 18 - Slide

Slide 19 - Slide

Slide 20 - Slide

Slide 21 - Slide

Slide 22 - Slide

Slide 23 - Slide

Slide 24 - Slide

Slide 25 - Slide

Slide 26 - Slide

Slide 27 - Slide

Slide 28 - Slide

Slide 29 - Slide

Slide 30 - Slide

Slide 31 - Slide

Slide 32 - Slide

Slide 33 - Slide

Slide 34 - Slide

Slide 35 - Slide

Slide 36 - Slide

Slide 37 - Slide

Slide 38 - Slide

Slide 39 - Slide

Slide 40 - Slide

Slide 41 - Slide

Slide 42 - Slide

Slide 43 - Slide

Slide 44 - Slide

Slide 45 - Slide

Slide 46 - Slide

Slide 47 - Slide

Slide 48 - Slide

Slide 49 - Slide

Slide 50 - Slide

Slide 51 - Slide

Slide 52 - Slide

Slide 53 - Slide

Slide 54 - Slide

Slide 55 - Slide

More lessons like this

Meetkunde met coördinaten

H7.1 tm 7.3 Herhalen

H7.3 & 7.4 Afstand Punt of lijn tot cirkel

Wis B H6:Afstand van een punt tot een lijn

Meetkundige berekeningen 5HAVO hfst 7

Meetkundige berekeningen 5HAVO hfst 7 vanaf cirkels

wisB G&R H8 les 9

wisB G&R H8 les 12