Samenvatting

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 2

H5 Pythagoras

5.1 rechthoekige driehoeken

Hiernaast is een rechthoekige driehoek ingesloten door drie vierkanten. Volgens de stelling van Pythagoras is opp I + opp II = opp III. 

In een rechthoekige driehoek heet de zijde tegenover de rechte hoek de schuine zijde. De andere zijden heten de rechthoekszijden. 

Volgens de stelling van Pythagoras is:

(ene rechthoekszijde)² + (andere rechthoekszijde)² = (schuine zijde)². 

In de figuur hiernaast is dus AB² + AC² = BC².

5.2 Zijden van rechthoekige driehoeken berekenen

Weet je van een rechthoekige driehoek twee zijden, dan kun je met de stelling van Pythagoras de derde zijde berekenen.

5.2 Afstanden in een assenstelsel

Voor het berekenen van de afstand tussen de punten A(-2, -1) en C(1, 1) gebruik je een geschikte rechthoekige driehoek en pas je de stelling van Pythagoras toe. Je krijgt: 

 

AC=√​13​​​≈3,61

AC​2​​=AB​2​​+BC​2​​

AC​2​​=3​2​​+2​2​​

AC​2​​=9+4=13

5.2 Omgekeerde stelling van Pythagoras

Zijn van een driehoek de drie zijden gegeven, dan kun je narekenen of de driehoek een rechte hoek heeft. 

Zo krijg je in de figuur hiernaast:

Dat geeft 

Dus, 

PQ​2​​+PR​2​​=35​2​​+12​2​​=1369

PQ​2​​+PR​2​​=QR​2​​

∠P=90°

QR​2​​=37​2​​=1369

5.3 De stelling van Pythagoras toepassen

Om van het trapezium hiernaast BC te berekenen, teken je eerst de hulplijn CP loodrecht op AB. 

Dit geeft de rechthoekige driehoek BCP. 

In driehoek BCP is:

∠P=90°,BP​2​​+CP​2​​=BC​2​​

(1,8)​2​​+(4,2)​2​​=BC​2​​

BC​2​​=20,88

BC=√​20,88​​​≈4,6cm

5.5 Pythagoras in de ruimte

De hoogte ST van de piramide T ABCD met rechthoekig grondvlak ABCD in de figuur hiernaast bereken je als volgt. 

In driehoek ABC is;

                     , dus 

Dus AS = 5 cm. 

AB​2​​+BC​2​​=AC​2​​

8​2​​+6​2​​=AC​2​​

AC​2​​=100

AC=√​100​​​=10

∠B=90°

5.5 Pythagoras in de ruimte

De hoogte ST van de piramide T ABCD met rechthoekig grondvlak ABCD in de figuur hiernaast bereken je als volgt. 

Dus AS = 10 cm. 

In driehoek AST is;

                     , dus 

AS​2​​+ST​2​​=AT​2​​

(5)​2​​+ST​2​​=13​2​​

(ST)​2​​=169−25=144

ST=√​144​​​=12cm

∠S=90°

5.5 De uitgebreide stelling van Pythagoras

In een balk geldt de uitgebreide stelling van Pythagoras:

lichaamsdiagonaal² = lengte² + breedte² + hoogte². 

De lengte van BH in de balk hiernaast kun je berekenen met 

BH​2​​=AB​2​​+AD​2​​+DH​2​​

BH​2​​=6​2​​+2​2​​+3​2​​=49

BH=√​49​​​=7

5.6 De bach-stelling

In een rechthoekige driehoek geldt;

Het product van de rechthoekszijden is gelijk aan het product van de schuine zijde en de bijbehorende hoogte.

In dit geval: 

Dus eerst BC berekenen:

AC⋅BC=AB⋅CD

6⋅BC=10⋅CD

∠C=90°,AC​2​​+BC​2​​=AB​2​​

6​2​​+BC​2​​=10​2​​

BC​2​​=100−36=64

BC=√​64​​​=8

5.6 De bach-stelling

Dus, BC = 8

De bach-stelling:

Dus de hoogte van driehoek ABC is 4,8 cm.

AC⋅BC=AB⋅CD

6⋅8=10⋅CD

10CD=48

CD=4,8cm

De stelling van Pythagoras

De bach-stelling

De omgekeerde stelling van Pythagoras

De uitgebreide stelling van Pythagoras

Huiswerk

Gemengde opgaven: 1, 2, 3, 5, 6, 7 en 8

Heb je dit al gemaakt? 

Dan mag je aan de slag met de D-toets:

1, 3, 5, 6, 7, 10, en 11