H9: Kansverdelingen

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 5

Kansverdelingen

Waar gaat dit hoofdstuk over

Kansrekenen

Binomiale kansverdelingen

Normale kansverdelingen

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt een kansverdeling opstellen.

Je kunt een kansverdeling gebruiken om de verwachtingswaarde te berekenen.

De loterij, maar dan iets makkelijker

In een loterij met 100 lootjes (a €2,- per stuk) zijn de volgende prijzen te winnen:

1 hoofdprijs van €15,-

3 twee prijzen van €5,-

5 derde prijzen van €2,50

Wat is de verwachte winst (verlies) bij deze loterij?

Notatie variabelen

Kansverdeling

Verwachtingswaarde

Verwachtingswaarde

1. Bedenk welke mogelijke situaties er zijn.

2. Bereken bij elke situatie de kans en stel de kansverdeling op.

3. Vermenigvuldig in de kansverdeling in elke kolom de waarde met de kans (boven met onder) en tel deze op.

Nu zelf

Bram heeft een zakje m&m's gekocht. Na openen ziet hij tot zijn teleurstelling dat er maar liefst 25 rode m&m's in zitten en maar 2 blauwe. Er zitten geen andere kleuren in. Om te voorkomen dat hij zijn goede figuurtje kwijtraakt, mag Bram van zichzelf dooreten totdat hij de eerste rode m&m eet. Hoeveel m&m's verwacht je dat Bram eet?

Uitwerking

De mogelijkheden zijn:

Rood - stoppen met eten: 25/27

Blauw - Rood - stoppen met eten: 2/27 * 25/26

Blauw - Blauw - Rood - Stoppen met eten 2/27 * 1/26 * 25/25

Het verwachte aantal m&m's is dan: 1*0,926 + 2*0,071 + 3*0,003 = 1,1 m&m

Aantal m&m's	1	2	3
Kans	0,926	0,071	0,003

Zelf aan de slag

11, 12, 13, 19, 20

 

Binomiale kansverdeling

Wat ga je vandaag leren?

Je weet wat een binomiaal kansexperiment is.

Je kunt een binomiale kans uitrekenen met behulp van de grafische rekenmachine.

Binomiaal kansexperiment

Of

Oefenvraag

Stel, je krijgt het volgende uur een SO. Meerkeuze, dat dan weer wel, maar je hebt niet geleerd. Wat is de kans dat je van de 20 vierkeuzevragen er 10 goed gokt?

Uitwerking

P(x=10)=(​20​10​​)⋅(​4​​1​​)​10​​⋅(​4​​3​​)​10​​=0,01

Gelukkig kan dit makkelijker

Pak je GR

Zelf aan de slag

24, 29, 30, 31

  

Binomiale kansen berekenen

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt binomiale kansen uitrekenen in verschillende situaties. 

Herinner je je deze nog?

Stel, je krijgt het volgende uur een SO. Meerkeuze, dat dan weer wel, maar je hebt niet geleerd. Wat is de kans dat je van de 20 vierkeuzevragen er 10 goed gokt?

P(x=10)=(​20​10​​)⋅(​4​​1​​)​10​​⋅(​4​​3​​)​10​​=0,01

Maar

Stel, je krijgt het volgende uur een SO. Meerkeuze, dat dan weer wel, maar je hebt niet geleerd. Wat is de kans dat je van de 20 vierkeuzevragen er minstens 10 goed gokt?

Terug naar de GR dus...

Conclusie

Precies aantal: binomPdf

Meerdere opties: binomCdf

CDF rekent altijd vanaf 0. Soms moet je kansen dus omschrijven.

Welke kans bereken je?

Je gooit 20 keer met een dobbelsteen. Wat is de kans dat je 

a) minstens 8 keer een '6' gooit?

b) minder dan 5 keer een '3' gooit?

c) tussen de 12 en de 18 keer een '2' gooit?

Zelf aan de slag

Basis: 33, 34, 36

Midden: 34, 36, 37

Uitdagend: 36, 37, 38

 

  

Verwachtingswaarde en standaardafwijking

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt de verwachtingswaarde en standaardafwijking van een binomiale kans berekenen. 

2 formules bij binomiale verdelingen

Verwachtingswaarde                    en                     Standaardafwijking

Met wederom n = aantal uitgevoerde experimenten en 

p = kans op succes per experiment

E(x)=np

σ=√​np(1−p)​​​

Bijvoorbeeld

Je gooit 1200 keer met een dobbelsteen. Wat is de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van het aantal keren dat je '4' gooit?

Verwachtingswaarde 

Standaardafwijking 

E(x)=1200⋅​6​​1​​=200

σ=√​1200⋅​6​​1​​(1−​6​​1​​)​​​=√​200⋅​6​​5​​​​​=12,9

Zelf aan de slag

Opdracht 40 en 42

Snel klaar = iets voor jezelf doen

Normaalverdeling op de GR

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt de oppervlakte onder een normaalkromme berekenen.

Ken je deze nog?

Maar wat nou als...

Zelf aan de slag

Opdracht 44, 45, 46

Snel klaar = iets voor jezelf doen

Grenzen, mu en sigma op de GR

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je de linker en rechter grens berekent op de GR

Hoe je het gemiddelde en de standaardafwijking berekent op de GR

Als de oppervlakte bekend is

Zelf aan de slag

Opdracht 49, 50, 51, 52

Berekeningen met de normaalverdeling

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt een situatie vertalen naar een normaalverdeling en de ontbrekende gegevens berekenen.

Bijvoorbeeld

Op de markt wordt vis verkocht op basis van hun lengte. Een partij sardientjes heeft een gemiddelde lengte van 11,5 cm en een standaardafwijking van 18 mm. De sardientjes van minstens 12 cm worden verdeeld in 2 even grote groepen. Wat is de grens tussen deze twee groepen. Bereken in mm nauwkeurig. 

Zelf aan de slag

Basis: 62, 63, 64

Midden: 65, 67, 68

Uitdagend: 69, 70, 71