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Demostraciones directas
Demostraciones directas
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Algebra
Tertiary Education
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Demostraciones directas
Slide 1 - Slide
¿Qué son?
(
P
∧
(
P
→
Q
)
)
→
Q
Si P es cierto, y demostramos que P implica a Q, entonces Q es cierto.
Slide 2 - Slide
Ejemplo
s
e
n
2
(
θ
)
+
cos
2
(
θ
)
=
1
Si sumamos el seno cuadrado y el coseno cuadrado del mismo ángulo entonces el resultado es 1
Slide 3 - Slide
Ejemplo
Vamos a eliminar el resultado y buscar como llegar a ese "1"
s
e
n
2
(
θ
)
+
cos
2
(
θ
)
=
?
Slide 4 - Slide
Ejemplo
Para las demostraciones necesitamos usar conocimientos ya conocidos
s
e
n
2
(
θ
)
+
cos
2
(
θ
)
=
?
s
e
n
2
(
θ
)
+
cos
2
(
θ
)
=
(
h
c
o
)
2
+
(
h
c
a
)
2
Slide 5 - Slide
Ejemplo
Para las demostraciones necesitamos usar conocimientos ya conocidos
s
e
n
2
(
θ
)
+
cos
2
(
θ
)
=
?
s
e
n
2
(
θ
)
+
cos
2
(
θ
)
=
(
h
c
o
)
2
+
(
h
c
a
)
2
(
h
c
o
)
2
+
(
h
c
a
)
2
=
h
2
c
o
2
+
h
2
c
a
2
=
h
2
c
o
2
+
c
a
2
Slide 6 - Slide
Ejemplo
¿Recuerdan el teorema de pitágoras?
s
e
n
2
(
θ
)
+
cos
2
(
θ
)
=
?
s
e
n
2
(
θ
)
+
cos
2
(
θ
)
=
h
2
c
o
2
+
c
a
2
h
2
=
c
o
2
+
c
a
2
s
e
n
2
(
θ
)
+
cos
2
(
θ
)
=
h
2
h
2
Slide 7 - Slide
Ejemplo
La división de dos términos iguales es 1
s
e
n
2
(
θ
)
+
cos
2
(
θ
)
=
?
s
e
n
2
(
θ
)
+
cos
2
(
θ
)
=
h
2
h
2
h
2
=
c
o
2
+
c
a
2
s
e
n
2
(
θ
)
+
cos
2
(
θ
)
=
1
Slide 8 - Slide
Ejemplo
x
1
,
2
=
2
a
−
b
±
√
b
2
−
4
a
c
Fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado
Slide 9 - Slide
Ejemplo
Toda ecuación de segundo grado es
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
Nuestra implicación se podría representar como:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
→
x
1
,
2
=
2
a
−
b
±
√
b
2
−
4
a
c
Slide 10 - Slide
Ejemplo
Intentemos despejar "x"
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
Aunque hay varias formas de hacerlo, vamos a completar el TCP
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
→
x
2
+
a
b
x
+
a
c
Slide 11 - Slide
Ejemplo
Aunque hay varias formas de hacerlo, vamos a completar el TCP
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
→
x
2
+
a
b
x
+
a
c
=
0
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
→
x
2
+
a
b
x
=
−
a
c
Slide 12 - Slide
Ejemplo
Aunque hay varias formas de hacerlo, vamos a completar el TCP
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
→
x
2
+
a
b
x
=
−
a
c
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
→
x
2
+
a
b
x
+
4
a
2
b
2
=
4
a
2
b
2
−
a
c
Slide 13 - Slide
Ejemplo
Aunque hay varias formas de hacerlo, vamos a completar el TCP
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
→
x
2
+
a
b
x
+
4
a
2
b
2
=
4
a
2
b
2
−
a
c
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
→
(
x
+
2
a
b
)
2
=
4
a
2
b
2
−
4
a
c
Slide 14 - Slide
Ejemplo
Una vez completo el trinomio cuadrado despejamos la x
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
→
(
x
+
2
a
b
)
2
=
4
a
2
b
2
−
4
a
c
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
→
(
x
+
2
a
b
)
=
√
4
a
2
b
2
−
4
a
c
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
→
(
x
+
2
a
b
)
=
2
a
√
b
2
−
4
a
c
Slide 15 - Slide
Ejemplo
Una vez completo el trinomio cuadrado despejamos la x
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
→
(
x
+
2
a
b
)
=
2
a
√
b
2
−
4
a
c
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
→
x
=
2
a
√
b
2
−
4
a
c
−
2
a
b
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
→
x
=
2
a
−
b
±
√
b
2
−
4
a
c
Slide 16 - Slide
Ejemplo
2
=
1
Esta demostración se hace al comprobar que si un número es 2, entonces debe de valer 1
Slide 17 - Slide
Ejemplo
2
=
1
→
a
=
b
a
2
=
a
⋅
b
Multiplicamos por a ambos términos
a
2
−
b
2
=
a
⋅
b
−
b
2
Restamos b^2 de ambos lados
Slide 18 - Slide
Ejemplo
a
2
−
b
2
=
a
b
−
b
2
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
(
a
−
b
)
b
Factorizamos
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
b
Despejamos "b" del lado izquierdo
Slide 19 - Slide
Ejemplo
Simplificamos
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
b
como a y b son iguales:
(
a
+
b
)
=
b
b
+
b
=
b
→
2
b
=
b
→
2
=
1
Slide 20 - Slide
¡TODAS NUESTRAS OPERACIONES DEBEN DE SER CIERTAS!
Slide 21 - Slide
Donde está el error:
Como a y b son iguales:
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
b
Cero entre cero no está definido por lo que no se puede simplificar.
(
0
)
(
a
+
b
)
(
0
)
=
b
Slide 22 - Slide
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