H3: Meetkunde

Goniometrische berekeningen en gelijkvormigheid

1 / 53

Slide 1: Slide

WiskundeMiddelbare schoolvwoLeerjaar 4

This lesson contains 53 slides, with interactive quizzes and text slides.

Lesson duration is: 60 min

Items in this lesson

Goniometrische berekeningen en gelijkvormigheid

Slide 1 - Slide

Waar gaat dit hoofdstuk over

Goniometrische verhoudingen en gelijkvormige driehoeken

Oppervlakte van vlakke figuren

Rekenregels voor wortels en vergelijkingen met wortels

Bijzondere rechthoekige driehoeken

Sinusregel

Cosinusregel

Slide 2 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt hoeken en lijnstukken berekenen in een rechthoekige driehoek met de sinus, cosinus en tangens

Je kunt aantonen wanneer twee driehoeken gelijkvormig zijn, met o.a. overstaande hoeken, F-hoeken en Z-hoeken

Je kunt berekeningen uitvoeren met gebruikmaking van de gelijkvormigheid van driehoeken

Slide 3 - Slide

Eerst even ophalen

Gegeven is de driehoek ABC met AB = 6. Het punt D ligt op AB zodat hoek D = 40 graden.

Bereken zijde BC en AC

Slide 4 - Slide

Goniometrische verhoudingen

SOS:

CAS:

TOA:

tan (∠ A) = \frac{​ o v e r s t a a n d e r e c h t h o e k z i j d e ​ ​}{​ a a n l i g g e n d e r e c h t h o e k z i j d e ​}

sin (∠ A) = \frac{​ o v e r s t a a n d e r e c h t h o e k z i j d e ​ ​}{​ s c h u i n e z i j d e ​}

cos (∠ A) = \frac{​ a a n l i g g e n d e r e c h t h o e k z i j d e ​ ​}{​ s c h u i n e z i j d e ​}

Slide 5 - Slide

Gelijkvormigheid

Wanneer zijn 2 driehoeken gelijkvormig?

Slide 6 - Slide

Gelijkvormigheid

Welke eigenschappen kun je

gebruiken om gelijke hoeken

aan te tonen?

Slide 7 - Slide

Voorbeeldvraag

Slide 8 - Slide

Zelf aan de slag

Basisroute: 2, 3, 10, 11

Middenroute: 4, 5, 10, 11

Uitdagende route: 5, 6, 11, 12

Slide 9 - Slide

Definities en stellingen

Slide 10 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Je kent de definities ‘raaklijn aan een cirkel’ en ‘afstand van een punt tot een lijn’.

Je kent de volgende stellingen en je kunt deze gebruiken:

• Stelling van Thales en omgekeerde stelling van Thales.

• Stelling raaklijn aan een cirkel.

• Stelling raaklijn in gemeenschappelijke raakpunt.

• Stelling afstand punt tot raakpunten.

Slide 11 - Slide

Definities

Raaklijn aan een cirkel: een lijn die 1 punt gemeenschappelijk heeft met de cirkel.

Afstand van een punt tot een lijn: de lengte van het loodlijnstuk dat het punt met de lijn verbindt.

Slide 12 - Slide

Stellingen 1.0

Stelling van Thales: als C op de cirkel met middellijn AB ligt, dan is hoek ACB recht.

Omgekeerde stelling van Thales: als hoek C in driehoek ABC recht is, dan ligt C op de cirkel met middellijn ABC.

Stelling raaklijn aan een cirkel: de raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de verbindingslijn van het middelpunt van de cirkel en het raakpunt.

Slide 13 - Slide

Stellingen 2.0

Stelling raaklijn in gemeenschappelijke raakpunt: de raaklijn in het gemeenschappelijk raakpunt van twee elkaar rakende cirkels staat loodrecht op de verbindingslijn van de middelpunten.

Stelling afstand punt tot raakpunten: als vanuit een punt twee raaklijnen aan een cirkel getrokken worden, dan zijn de afstanden van dat punt tot de twee raakpunten gelijk.

Slide 14 - Slide

Slide 15 - Slide

Zelf aan de slag

Alle routes maken: 19, 20, 21

Slide 16 - Slide

Oppervlakte van vlakke figuren

en lengte & oppervlakte

Slide 17 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Je kent de oppervlakteformules van de basisfiguren: driehoek, parallellogram, trapezium en cirkel

Je kent de (alternatieve) formule voor de oppervlakte van een driehoek: O∆ABC=1/2∙AB∙AC∙sin(∠A)

Je kunt werken met de ‘zijde-hoogte’-methode in driehoeken

Slide 18 - Slide

Hoe bereken je
de oppervlakte van
een driehoek?

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} \cdot b \cdot b

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} \cdot b \cdot h

2 \cdot b \cdot b

2 \cdot b \cdot h

Slide 19 - Quiz

Hoe bereken je de
oppervlakte van
een parallellogram

b \cdot h

b \cdot b

2 \cdot b \cdot h

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} \cdot b \cdot h

Slide 20 - Quiz

Hoe bereken je de
oppervlakte van
een trapezium?

a \cdot b \cdot h

b \cdot h + a

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} (a + b) \cdot h

(a + b) \cdot h

Slide 21 - Quiz

Hoe bereken je
de oppervlakte van
een cirkel?

2 π r

0, 5 π r

π r

π r^{​ 2 ​ ​}

Slide 22 - Quiz

Welke kende je nog niet?

Zijde * bijbehorende hoogte

andere zijde * bijbehorende hoogte

O (△ A B C) = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} \cdot A B \cdot A C \cdot sin (∠ A)

Slide 23 - Slide

Bereken de oppervlakte van het blauwe gebied

Slide 24 - Slide

Zelf aan de slag

Basisroute: 24, 25, 31, 32

Middenroute: 25, 26, 32, 33

Uitdagende route: 25, 26, 33, 34

Slide 25 - Slide

Rekenregels voor wortels

Slide 26 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt wortels vermenigvuldigen of opsplitsen

Je kunt wortels delen of opsplitsen

Slide 27 - Slide

De rekenregels

Herleid

\sqrt ​ A ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ B ​ ​ ​ = \sqrt ​ A B ​ ​ ​

\frac{​ \sqrt ​ A ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ B ​ ​ ​ ​} = \sqrt ​ \frac{​ A ​ ​}{​ B ​} ​ ​ ​

\sqrt ​ 20 a ​ ​ ​ - \sqrt ​ \frac{​ 5 ​ ​}{​ 9 ​} ​ ​ ​ a

(3 a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + 1) (3 a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ - 1)

\frac{​ 1 2 \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ - \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ ​}

Slide 28 - Slide

Zelf aan de slag

Basisroute: 37, 38, 39

Middenroute: 38, 39, 40

Uitdagende route: 39, 40, 41

Let op wortel notatie:

\sqrt ​ 5 ​ ​ ​ + 2 x \neq \sqrt ​ 5 + 2 x ​ ​ ​

Slide 29 - Slide

Vergelijkingen met wortels

Slide 30 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt vergelijkingen met wortels oplossen

Slide 31 - Slide

Aankondiging wiskunde Olympiade

Slide 32 - Slide

De rekenregels

Los op

\sqrt ​ A ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ B ​ ​ ​ = \sqrt ​ A B ​ ​ ​

\frac{​ \sqrt ​ A ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ B ​ ​ ​ ​} = \sqrt ​ \frac{​ A ​ ​}{​ B ​} ​ ​ ​

x \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ - 3 = \sqrt ​ 6 ​ ​ ​

x \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + 2 x = 8

Slide 33 - Slide

Zelf aan de slag

Alle routes maken 45, 46, 47

Slide 34 - Slide

Bijzondere rechthoekige driehoeken

Slide 35 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Je kent de verhoudingen van bijzondere driehoeken

Slide 36 - Slide

ABC is een gelijkbenige, rechthoekige driehoek

Bereken AC exact, met behulp

van de stelling van Pythagoras.

Slide 37 - Slide

De 30 - 60 - 90 driehoek

Bereken PR en QR

in een 30 - 60 - 90

driehoek waarbij

PQ = 12

Slide 38 - Slide

Zelf aan de slag

Basisroute: 49, 50, 53, 55

Middenroute: 51, 53, 54, 56

Uitdagende route: 51, 52, 56, 57

Slide 39 - Slide

Stelling van Pythagoras

Slide 40 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt verhoudingen en de stelling van Pythagoras toepassen in verschillende situaties.

Slide 41 - Slide

Voorbeeldvraag

Slide 42 - Slide

Zelf aan de slag

Iedereen maakt 60, 61, 62

Slide 43 - Slide

Sinusregel en cosinusregel

Slide 44 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Je kunt de sinusregel gebruiken in scherpe- en stomphoekige driehoeken

Je kunt de cosinusregel gebruiken in scherpe- en stomphoekige driehoeken

Slide 45 - Slide

Sinusregel aantonen

Bereken de lengte van zijde AC

Tip: maak gebruik van de

hoogtelijn AD

Slide 46 - Slide

Sinusregel

Slide 47 - Slide

Zie figuur

Waarom kun je hier de sinusregel niet gebruiken?

Slide 48 - Slide

De cosinusregel

Slide 49 - Slide

Zelf aan de slag

Basisroute: 70, 71, 79, 80

Middenroute: 71, 72, 80, 81

Uitdagende route: 72, 74, 81, 82

Slide 50 - Slide

Tips voor de toets

Slide 51 - Slide

Het gereedschap van hoofdstuk 3

SOS, CAS, TOA (of SOL, CAL, TOA)

Stelling van Pythagoras

Gelijkvormige driehoeken

Stelling van Thales en raaklijnen aan cirkels

Bijzondere driehoeken

Sinusregel

Cosinusregel

Slide 52 - Slide

Laatste tips bij hoofdstuk 3

1. Let goed op of er 'exact' in de vraag staat of niet.

2. Kijk goed of er wel rechte hoeken zijn (dit MOET gegeven of aan te tonen zijn). Je mag geen aannames doen over rechte hoeken.

3. Als je rekent met gelijkvormige driehoeken, moet je eerst aantonen dat daar sprake van is.

4. SCHETS, SCHETS, SCHETS.

5. Teken hulplijnen en maak veelvuldig gebruik van 'x'.

Slide 53 - Slide

H3: Meetkunde

Items in this lesson

Slide 1 - Slide

Slide 2 - Slide

Slide 3 - Slide

Slide 4 - Slide

Slide 5 - Slide

Slide 6 - Slide

Slide 7 - Slide

Slide 8 - Slide

Slide 9 - Slide

Slide 10 - Slide

Slide 11 - Slide

Slide 12 - Slide

Slide 13 - Slide

Slide 14 - Slide

Slide 15 - Slide

Slide 16 - Slide

Slide 17 - Slide

Slide 18 - Slide

Slide 19 - Quiz

Slide 20 - Quiz

Slide 21 - Quiz

Slide 22 - Quiz

Slide 23 - Slide

Slide 24 - Slide

Slide 25 - Slide

Slide 26 - Slide

Slide 27 - Slide

Slide 28 - Slide

Slide 29 - Slide

Slide 30 - Slide

Slide 31 - Slide

Slide 32 - Slide

Slide 33 - Slide

Slide 34 - Slide

Slide 35 - Slide

Slide 36 - Slide

Slide 37 - Slide

Slide 38 - Slide

Slide 39 - Slide

Slide 40 - Slide

Slide 41 - Slide

Slide 42 - Slide

Slide 43 - Slide

Slide 44 - Slide

Slide 45 - Slide

Slide 46 - Slide

Slide 47 - Slide

Slide 48 - Slide

Slide 49 - Slide

Slide 50 - Slide

Slide 51 - Slide

Slide 52 - Slide

Slide 53 - Slide

More lessons like this

wi 4V H34 samenvatting

wi 4V H3 3.1 Berekeningen in driehoeken

Goniometrie les 3 Thales jko

Meetkunde

H4 meetkunde 3

Meetkundige berekeningen

Hoofdstuk 7

Hoofdstuk 7: bewijzen