Inducción

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pre-calculusTertiary Education

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Inducción matemática
¿El método que acabamos de ver funciona para todos los números? ¿Cómo podemos comprobarlo?

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Método de Inducción matemática
  1. Comprobar que funciona para el primer valor posible
  2. Obtener el valor de f(n+1)
  3. Obtener el valor de f(n) y probar la condicional "si funciona para n, entonces funciona para n+1".

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Suma de naturales de gauss
1+2+3+...+n=2n(n+1)
Paso 1 - Probar que la fórmula funciona con el primer valor
n=11=21(1+1)
n=11=22=1

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Suma de naturales de gauss
1+2+3+...+n=2n(n+1)
Paso 2 - Calcular f(n+1)
n=n+1f(n+1)=2(n+1)(n+2)

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Suma de naturales de gauss
Paso 3 - A la fórmula original aplicarle las operaciones necesarias para llegar a f(n+1)
f(n)=1+2+...+n=2n(n+1)
f(n+1)=1+...+n+(n+1)=2n(n+1)+(n+1)
1+2+3+...+n=2n(n+1)

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Suma de naturales de gauss
Paso 3 - A la fórmula original aplicarle las operaciones necesarias para llegar a f(n+1)
f(n+1)=2n(n+1)+(n+1)
f(n+1)=2n(n+1)+2(n+1)
1+2+3+...+n+(n+1)=2(n+1)(n+2)

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Suma de naturales de gauss
Paso 3 - A la fórmula original aplicarle las operaciones necesarias para llegar a f(n+1)
f(n+1)=2n(n+1)+2(n+1)
f(n+1)=2(n+1)(n+2)
1+2+3+...+n+(n+1)=2(n+1)(n+2)

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Suma de naturales de gauss
Paso 3 - A la fórmula original aplicarle las operaciones necesarias para llegar a f(n+1)
f(n+1)=2n(n+1)+2(n+1)
f(n+1)=2(n+1)(n+2)
1+2+3+...+n+(n+1)=2(n+1)(n+2)

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Suma de naturales de gauss
Funciona con el primer valor (1). Y comprobamos que si funciona para un valor "n" debe de funcionar para un valor "n+1"
¡Entonces!
Probamos que si funciona para 1, funciona para 2.
Como funciona para 2, va a funcionar para 3
Como funciona para 3, va a funcionar para 4
¡Funciona siempre!
1+2+3+...+n=2n(n+1)

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Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica
i=0nri=r0+r1+r2+...rn=r1rn+11

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Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica f(n) con r constante.
i=0nri=r0+r1+r2+...rn=r1rn+11
Paso 1: Probar con el primer valor de n
i=00ri=r0=r1r0+11
i=00ri=1=r1r1=1

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Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica f(n) con r constante.
i=0nri=r0+r1+r2+...rn=r1rn+11
Paso 2: Calcular el valor de n+1
i=0n+1ri=r0+r1+...+rn+rn+1=r1rn+1+11
i=0n+1ri=r0+r1+...+rn+rn+1=r1rn+21

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Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica f(n) con r constante.
Paso 3: Comprobar que si funciona para "n" funciona para "n+1"
i=0n+1ri=i=0nri+rn+1=r1rn+11+rn+1
i=0n+1ri=r0+r1+...+rn+rn+1=r1rn+21

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Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica f(n) con r constante.
Paso 3: Comprobar que si funciona para "n" funciona para "n+1"
r1rn+11+rn+1=r1rn+11+rn+1(r1)
i=0n+1ri=r0+r1+...+rn+rn+1=r1rn+21

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Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica f(n) con r constante.
Paso 3: Comprobar que si funciona para "n" funciona para "n+1"
r1rn+11+rn+1=r1rn+11+rn+1(r1)
i=0n+1ri=r0+r1+...+rn+rn+1=r1rn+21
r1rn+11+rn+1=r1rn+11+rn+2rn+1

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Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica f(n) con r constante.
Paso 3: Comprobar que si funciona para "n" funciona para "n+1"
i=0n+1ri=r0+r1+...+rn+rn+1=r1rn+21
r1rn+11+rn+1=r11+rn+2
r1rn+11+rn+1=r1rn+11+rn+2rn+1

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Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica f(n) con r constante.
Paso 3: Comprobar que si funciona para "n" funciona para "n+1"
i=0n+1ri=r0+r1+...+rn+rn+1=r1rn+21
r1rn+11+rn+1=r1rn+21
r1rn+11+rn+1=r11+rn+2

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Ejemplo 2: Suma de una sucesión geométrica
i=0nri=r0+r1+r2+...rn=r1rn+11
Probamos que funciona para el primer valor (cero)
Como funciona para 0 funciona para 1
Como funciona para 1 funciona para 2

Y seguirá siendo verdad, hasta el infinito y más allá.

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¿Dudas?

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