Normale verdeling en betrouwbaarheidsintervallen

Normale verdeling
Normale verdeling en verdeling van steekproefgemiddeldes
Normale verdeling
1 / 53
next
Slide 1: Slide
WiskundeMiddelbare schoolhavoLeerjaar 4

This lesson contains 53 slides, with interactive quizzes and text slides.

time-iconLesson duration is: 45 min

Items in this lesson

Normale verdeling
Normale verdeling en verdeling van steekproefgemiddeldes
Normale verdeling

Slide 1 - Slide

Tips bij het maken van de opgaven:

  • Goed lezen!
  • Noteer gegevens in je schrift (                        )
  • Maak een normaalkromme en zet erbij wat je weet:  

  • n heeft altijd betrekking op de steekproefomvang en niet op het aantal steekproeven
  • Het aantal steekproeven of waarnemingen levert de normaalkromme (frequentieverdeling) op en met de vuistregels bereken je de percentages van de waarnemingen/steekproeven tussen bepaalde grenswaardes.


μ,σ,p,n,etc.
μ,μ+σ,μσ,p,p+σ,pσ,etc.

Slide 2 - Slide

Vuistregels normale verdeling

Slide 3 - Slide

gemiddelde: 

μ=15,6
standaardafwijking: 

σ=0,3
Sleep de getallen naar de juiste vakken onder de normaalkromme. Gebruik de vuistregels.
14,7
14,8
15,9
15,8
16,5
16,8
16,0
16,2
15,0
15,3
15,2
15,6

Slide 4 - Drag question


Slide 5 - Open question

μ=66
σ=11
gemiddelde: 

standaardafwijking: 

minuten
minuten
88
99
44
33
77
66
55
Bij 2,5% van de woningen is de monteur langer dan 88 minuten  bezig

Slide 6 - Slide


Slide 7 - Open question

μ=66
σ=11
gemiddelde: 

standaardafwijking: 

minuten
minuten
88
99
44
33
77
66
55
47,5% tussen 66 en 88 minuten
In totaal  1400 woningen
1400 x 0,475 = 665
Bij 665 woningen is hij tussen 66 en 88 minuten bezig.

Slide 8 - Slide


Slide 9 - Open question

μ=66
σ=11
gemiddelde: 

standaardafwijking: 

minuten
minuten
88
99
44
33
77
66
55
16% minder dan 55 minuten
In totaal  1400 woningen
1400 x 0,16 = 224
Bij 224 woningen is hij minder dan 55 minuten bezig.

Slide 10 - Slide


Meer dan ...........  minuten. (Vul in wat op de stippen moet komen te staan)

Slide 11 - Open question

μ=66
σ=11
gemiddelde: 

standaardafwijking: 

minuten
minuten
88
99
44
33
77
66
55
2,5%, dit zijn de woningen waar de monteur langer dan  88 minuten mee bezig is.

Hoeveel % is 35 van 1400? Als je dat weet, dan kun je iets met de gegevens die je hebt.

140035100=2,5
dus de 35 woningen waar hij het langst mee bezig is, zijn de woningen waar hij langer dan 88 minuten mee bezig is. 
dus dit percentage komt overeen met de woningen waar hij het langst mee bezig is!

Slide 12 - Slide


Van jongens van 10 maanden is de lengte en het gewicht normaal verdeeld. Zie de tabel hiernaast. Op een consultatiebureau wordt in een jaar van 320 jongens de lengte en het gewicht gemeten. Van hoeveel jongens is naar verwachting de lengte meer dan 80 cm?

Slide 13 - Open question

gemiddelde lengte

standaardafwijking: 

74,2 cm
80,0
82,9
68,4
65,5
77,1
74,2
71,3
2,5% langer  dan 80 cm
In totaal  320 jongens gemeten
320 x 0,025 = 8

Antwoord: 8 jongens zijn naar verwachting langer dan 80 cm
2,9 cm

Slide 14 - Slide


Van jongens van 10 maanden is de lengte en het gewicht normaal verdeeld. Zie de tabel hiernaast. Op een consultatiebureau wordt in een jaar van 320 jongens de lengte en het gewicht gemeten. Van hoeveel jongens is naar verwachting het gewicht tussen 7,1 en 10,4 kg?

Slide 15 - Open question

gemiddelde gewicht

standaardafwijking: 

9,3 kg
11,5
12,6
7,1
6,0
10,4
9,3
8,2
81,5% tussen 7,1 en 10,4 kg
In totaal  320 jongens gewogen


Antwoord: 261 jongens wegen naar verwachting tussen 7,1 en 10,4 kg.
1,1 kg
3200,815=260,8261

Slide 16 - Slide


Bereken de standaardafwijking. 

Slide 17 - Open question

μ=144
μ+σ=152
gemiddelde:
standaardafwijking
gram
?     gram
152
144
16% weegt meer dan 152 gram, dus 152 is gelijk aan 
σ=
μ+σ
μ+σ
μ
σ=152144=8
De standaardafwijking is 8 gram

Slide 18 - Slide


Bereken de standaardafwijking. 

Slide 19 - Open question

μ=180
μ2σ=168
gemiddelde:
standaardafwijking
gram
?     gram
168
180
47,5% weegt tussen 168 en 180 gram en dus is 168 gram gelijk aan   
σ=
μ2σ
μ2σ
μ
σ=6
De standaardafwijking is 6 gram
2σ=180168=12

Slide 20 - Slide

Verdeling van het steekproefgemiddelde
Er worden in dit voorbeeld steeds steekproeven van 9 kiwi's genomen --> n = 9 

Steekproevenverdeling --> verdeling steekproefgemiddeldes van de kiwi's

Standaardafwijking steekproevenverdeling:
nσ=99=39=3

Slide 21 - Slide


Ga uit van een gemiddeld gewicht per grapefruit van 180 gram en een standaardafwijking van 6 gram. Er worden ter controle een aantal aselecte steekproeven van 16 grapefruits genomen waarvan het steekproefgemiddelde van de grapefruits wordt bepaald. Welk percentage van de steekproeven zal naar verwachting een gemiddeld gewicht lager dan 177 gram opleveren?

Slide 22 - Open question

Gewicht grapefruits normaal verdeeld met:
Gemiddelde 180 gram
Standaardafwijking 6 gram

Er worden steekproeven genomen met lengte 16 --> n = 16
Standaardafwijking verdeling steekproefgemiddeldes:
nσ=166=46=1,5
180
178,5
177
2,5 % van de steekproeven zal naar verwachting een gemiddeld gewicht per grapefruit lager dan 177 gram opleveren. 

Slide 23 - Slide

Betrouwbaarheidsintervallen
Betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde

Slide 24 - Slide

Betrouwbaarheidsintervallen zoals ze op het formuleblad staan (eindexamen en toets):

Slide 25 - Slide


Bij een steekproef onder 300 huishoudens van een stad is gekeken naar de hoeveelheden glasafval. De gemiddelde hoeveelheid glasafval bleek per huishouden 48,4 kg te zijn met een steekproefstandaardafwijking van 11,2 kg. Bereken het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de gemiddelde hoeveelheid glasafval per huishouden in deze stad. Rond af op twee decimalen

Slide 26 - Open question

Steekproefgemiddelde:  

Standaardafwijking van het steekproefgemiddelde:
X=48,4kg
S=11,2kg
Linkergrens: 
Rechtergrens:
X2nS=48,4230011,2=48,41,293...=47,106...47,12kg
Afronden op twee decimalen!
X+2nS=48,4+230011,2=48,4+1,293...=49,693...49,69kg
95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde gewicht van de hoeveelheid glasafval per huishouden in de stad (in kg):

[47,12 ; 49,69]
_
_
_

Slide 27 - Slide

Slide 28 - Slide


Bij een andere proef werd gekeken naar de hoeveelheid afval van plastic verpakkingen. Voor de gemiddelde jaarlijkse hoeveelheid van plastic verpakkingen in kg stelden de onderzoekers het 95%-betrouwbaarheidsinterval op van [16,27 ; 17,73]. Wat was het steekproefgemiddelde? Geef dit in twee decimalen nauwkeurig. 

Slide 29 - Open question

95%-btbhi: [16,27; 17,73] , n = 300

216,27+17,73=17,00
   I________________________I
16,27              17,00              17,73

X
X+2nS
X2nS
Steekproefgemiddelde:
I

Slide 30 - Slide


Uit de vorige vraag kwam uit het onderzoek naar plastic afval een gemiddelde jaarlijkse hoeveelheid van plastic verpakkingen van 17,0 kg naar voren. De steekproefstandaardafwijking bleek 5,5 kg te zijn. Bereken met de GR het aantal huishoudens dat was meegenomen in dit onderzoek.  

Slide 31 - Open question

17,7316,27=1,46
De breedte van het interval komt overeen met
4nS
4nS=4n5,5=1,46
Y1=4x5,5
Optie G-Solve Intersect geeft x = 227,05... dus 227 huishoudens in deden mee (steekproefomvang).
    I________________________I
16,27                                       17,73

X+2nS
X2nS
Breedte interval:
4nS=1,46
X
I
Voer in:
Y2=1,46
S=5,5

Slide 32 - Slide

Verdeling steekproefproporties
Populatie- en steekproefproporties --> aangeduid met p
  • p heeft altijd een waarde tussen 0 en 1 --> 0 < p < 1
  • deel van geheel b.v. 50 van de 200 --> p = 50/200 = 0,25
  • gegeven als percentage b.v. 63% --> p = 0,63

Slide 33 - Slide


Bereken met de steekproefproportie de standaardafwijking en doe die x 100%.

Slide 34 - Open question

p=0,41
populatieproportie:
n = 125
520 steekproeven
σ=np(1p)=1250,410,59=0,04399...0,0440
De standaardafwijking van de verdeling van de steekproefproporties is 4,40%
41,0 % woont op het platteland dus
Berekening standaardafwijking steekproefverdeling
0,0440 X 100% = 4,40%

Slide 35 - Slide


Slide 36 - Open question

p=0,410
populatieproportie:
n = 125
520 steekproeven
41,0 % woont op het platteland dus
σ=np(1p)=1250,410,59=0,04399...0,0440
0,410
0,454
0,366
68% ligt tussen de steekproefproporties 0,366 en 0,454
p+σ
pσ
p

Slide 37 - Slide


Slide 38 - Open question

p=0,41
populatieproportie:
n = 125
520 steekproeven
41,0 % woont op het platteland dus
σ0,0440
0,410
0,454
0,366
12557=0,456
57 van de 125 komt overeen met een steekproefproportie van:



Dus bij meer dan 16%. Dit komt overeen met 0,16 x 520 = 83,2

Bij 83 steekproeven verwacht je dat meer dan 57  ondervraagden op het platteland wonen.

Slide 39 - Slide

betrouwbaarheidsintervallen
betrouwbaarheidsinterval steekproefproportie

Slide 40 - Slide

Betrouwbaarheidsintervallen zoals ze op het formuleblad staan (eindexamen en toets):

Slide 41 - Slide


Jochem doet onderzoek naar de kleur van de personenauto's die in Nederland rondrijden. Hij noteert van 575 auto's de kleur. Hiervan zijn er 47 rood. 

a) Bereken het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de proportie rode auto's. Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.

Slide 42 - Open question

p=57547=0,0817...
steekproefproportie:
n = 575

σ=5750,0817...(10,0817...)=0,01142...
47 van de 575 auto's zijn rood dus 
Berekening standaardafwijking verdeling steekproefproportie:
Linkergrens:
Rechtergrens:
p2σ=0,0817...20,0114...=0,05888...0,059
p+2σ=0,0817...+20,0114...=0,10458...0,105
95% betrouwbaarheidsinterval voor de proportie rode auto's: [0,059; 0,105]

Slide 43 - Slide

Slide 44 - Slide


Jochem doet onderzoek naar de kleur van de personenauto's die in Nederland rondrijden. Hij noteert van 575 auto's de kleur. Van de proportie zwarte auto's is het 95%-betrouwbaarheidsinterval [0,224 ; 0,296].
a) Bereken in twee decimalen nauwkeurig de steekproefproportie van het aantal zwarte auto's in de steekproef. 

Slide 45 - Open question

95% betrouwbaarheidsinterval proportie zwarte auto's:
[0,224; 0,296]

Steekproefproportie gemiddelde linkergrens en rechtergrens: 





20,224+0,296=0,26

Slide 46 - Slide


Jochem doet onderzoek naar de kleur van de personenauto's die in Nederland rondrijden. Hij noteert van 575 auto's de kleur. Van de proportie zwarte auto's is het 95%-betrouwbaarheidsinterval [0,224 ; 0,296].
a) Bereken het aantal zwarte auto's in de steekproef. 

Slide 47 - Open question

95% betrouwbaarheidsinterval proportie zwarte auto's:
[0,224; 0,296]

Steekproefproportie aantal zwarte auto's  is 0,26
Totaal aantal auto's in de steekproef was 575

Aantal zwarte auto's in de steekproef was dus
 0,26 x 575 = 149,5 --> 150

Jochem heeft 150 zwarte auto's geteld in de steekproef.

Slide 48 - Slide


Jochem doet onderzoek naar de kleur van de personenauto's die in Nederland rondrijden. Hij noteert van 575 auto's de kleur. 
Van de proportie zwarte auto's is het 95%-betrouwbaarheidsinterval [0,224 ; 0,296].
a) Bereken de standaardafwijking van het aantal zwarte auto's in de steekproef. 

Slide 49 - Open question

95%-btbhi: [0,224; 0,296] , n = 575

0,2960,224=0,072
De breedte van het interval komt overeen met
4σ
4σ=0,072
σ=40,072=0,018
dus
   I________________________I
0,224              0,26             0,296

p+2σ
p2σ
Breedte interval:
Standaardafwijking van het aantal zwarte auto's in de steekproef: 0,018
4σ
0,072

I
p

Slide 50 - Slide


In een andere steekproef noteert Jochem van een groot aantal auto's of ze wel of niet elektrisch zijn. Van de proportie 'elektrische auto's' was het 95%-betrouwbaarheidsinterval [0,316; 0,404]. Hoeveel auto's zaten er in totaal in de steekproef?

Slide 51 - Open question

95%-btbhi: [0,316; 0,404] , n = ?

0,4040,316=0,088
De breedte van het interval komt overeen met
4σ
dus
   I________________________I
0,316              0,36             0,404

p+2σ
p2σ
Breedte interval:
4σ
0,088

I
p
σ=x0,36(10,36)
p=20,316+0,404=0,36
Y1=4x0,36(10,36)
Y2=0,088
Optie G-Solve Intersect geeft x = 476, 03... dus 476 auto's zaten er in de steekproef 

Slide 52 - Slide

EINDE

Slide 53 - Slide