Normale verdeling en verdeling van steekproefgemiddeldes
Normale verdeling
1 / 53
next
Slide 1: Slide
WiskundeMiddelbare schoolhavoLeerjaar 4
This lesson contains 53 slides, with interactive quizzes and text slides.
Lesson duration is: 45 min
Items in this lesson
Normale verdeling
Normale verdeling en verdeling van steekproefgemiddeldes
Normale verdeling
Slide 1 - Slide
Tips bij het maken van de opgaven:
Goed lezen!
Noteer gegevens in je schrift ( )
Maak een normaalkromme en zet erbij wat je weet:
n heeft altijd betrekking op de steekproefomvang en niet op het aantal steekproeven
Het aantal steekproeven of waarnemingen levert de normaalkromme (frequentieverdeling) op en met de vuistregels bereken je de percentages van de waarnemingen/steekproeven tussen bepaalde grenswaardes.
μ,σ,p,n,etc.
μ,μ+σ,μ−σ,p,p+σ,p−σ,etc.
Slide 2 - Slide
Vuistregels normale verdeling
Slide 3 - Slide
gemiddelde:
μ=15,6
standaardafwijking:
σ=0,3
Sleep de getallen naar de juiste vakken onder de normaalkromme. Gebruik de vuistregels.
14,7
14,8
15,9
15,8
16,5
16,8
16,0
16,2
15,0
15,3
15,2
15,6
Slide 4 - Drag question
Slide 5 - Open question
μ=66
σ=11
gemiddelde:
standaardafwijking:
minuten
minuten
88
99
44
33
77
66
55
Bij 2,5% van de woningen is de monteur langer dan 88 minuten bezig
Slide 6 - Slide
Slide 7 - Open question
μ=66
σ=11
gemiddelde:
standaardafwijking:
minuten
minuten
88
99
44
33
77
66
55
47,5% tussen 66 en 88 minuten
In totaal 1400 woningen
1400 x 0,475 = 665
Bij 665 woningen is hij tussen 66 en 88 minuten bezig.
Slide 8 - Slide
Slide 9 - Open question
μ=66
σ=11
gemiddelde:
standaardafwijking:
minuten
minuten
88
99
44
33
77
66
55
16% minder dan 55 minuten
In totaal 1400 woningen
1400 x 0,16 = 224
Bij 224 woningen is hij minder dan 55 minuten bezig.
Slide 10 - Slide
Meer dan ........... minuten. (Vul in wat op de stippen moet komen te staan)
Slide 11 - Open question
μ=66
σ=11
gemiddelde:
standaardafwijking:
minuten
minuten
88
99
44
33
77
66
55
2,5%, dit zijn de woningen waar de monteur langer dan 88 minuten mee bezig is.
Hoeveel % is 35 van 1400? Als je dat weet, dan kun je iets met de gegevens die je hebt.
140035⋅100=2,5
dus de 35 woningen waar hij het langst mee bezig is, zijn de woningen waar hij langer dan 88 minuten mee bezig is.
%
dus dit percentage komt overeen met de woningen waar hij het langst mee bezig is!
Slide 12 - Slide
Van jongens van 10 maanden is de lengte en het gewicht normaal verdeeld. Zie de tabel hiernaast. Op een consultatiebureau wordt in een jaar van 320 jongens de lengte en het gewicht gemeten. Van hoeveel jongens is naar verwachting de lengte meer dan 80 cm?
Slide 13 - Open question
gemiddelde lengte
standaardafwijking:
74,2 cm
80,0
82,9
68,4
65,5
77,1
74,2
71,3
2,5% langer dan 80 cm
In totaal 320 jongens gemeten
320 x 0,025 = 8
Antwoord: 8 jongens zijn naar verwachting langer dan 80 cm
2,9 cm
Slide 14 - Slide
Van jongens van 10 maanden is de lengte en het gewicht normaal verdeeld. Zie de tabel hiernaast. Op een consultatiebureau wordt in een jaar van 320 jongens de lengte en het gewicht gemeten. Van hoeveel jongens is naar verwachting het gewicht tussen 7,1 en 10,4 kg?
Slide 15 - Open question
gemiddelde gewicht
standaardafwijking:
9,3 kg
11,5
12,6
7,1
6,0
10,4
9,3
8,2
81,5% tussen 7,1 en 10,4 kg
In totaal 320 jongens gewogen
Antwoord: 261 jongens wegen naar verwachting tussen 7,1 en 10,4 kg.
1,1 kg
320⋅0,815=260,8≈261
Slide 16 - Slide
Bereken de standaardafwijking.
Slide 17 - Open question
μ=144
μ+σ=152
gemiddelde:
standaardafwijking
gram
? gram
152
144
16% weegt meer dan 152 gram, dus 152 is gelijk aan
σ=
μ+σ
μ+σ
μ
σ=152−144=8
De standaardafwijking is 8 gram
Slide 18 - Slide
Bereken de standaardafwijking.
Slide 19 - Open question
μ=180
μ−2σ=168
gemiddelde:
standaardafwijking
gram
? gram
168
180
47,5% weegt tussen 168 en 180 gram en dus is 168 gram gelijk aan
σ=
μ−2σ
μ−2σ
μ
σ=6
De standaardafwijking is 6 gram
2σ=180−168=12
Slide 20 - Slide
Verdeling van het steekproefgemiddelde
Er worden in dit voorbeeld steeds steekproeven van 9 kiwi's genomen --> n = 9
Steekproevenverdeling --> verdeling steekproefgemiddeldes van de kiwi's
Standaardafwijking steekproevenverdeling:
√nσ=√99=39=3
Slide 21 - Slide
Ga uit van een gemiddeld gewicht per grapefruit van 180 gram en een standaardafwijking van 6 gram. Er worden ter controle een aantal aselecte steekproeven van 16 grapefruits genomen waarvan het steekproefgemiddelde van de grapefruits wordt bepaald. Welk percentage van de steekproeven zal naar verwachting een gemiddeld gewicht lager dan 177 gram opleveren?
Slide 22 - Open question
Gewicht grapefruits normaal verdeeld met:
Gemiddelde 180 gram
Standaardafwijking 6 gram
Er worden steekproeven genomen met lengte 16 --> n = 16
2,5 % van de steekproeven zal naar verwachting een gemiddeld gewicht per grapefruit lager dan 177 gram opleveren.
Slide 23 - Slide
Betrouwbaarheidsintervallen
Betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde
Slide 24 - Slide
Betrouwbaarheidsintervallen zoals ze op het formuleblad staan (eindexamen en toets):
Slide 25 - Slide
Bij een steekproef onder 300 huishoudens van een stad is gekeken naar de hoeveelheden glasafval. De gemiddelde hoeveelheid glasafval bleek per huishouden 48,4 kg te zijn met een steekproefstandaardafwijking van 11,2 kg. Bereken het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de gemiddelde hoeveelheid glasafval per huishouden in deze stad. Rond af op twee decimalen
95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde gewicht van de hoeveelheid glasafval per huishouden in de stad (in kg):
[47,12 ; 49,69]
_
_
_
Slide 27 - Slide
Slide 28 - Slide
Bij een andere proef werd gekeken naar de hoeveelheid afval van plastic verpakkingen. Voor de gemiddelde jaarlijkse hoeveelheid van plastic verpakkingen in kg stelden de onderzoekers het 95%-betrouwbaarheidsinterval op van [16,27 ; 17,73]. Wat was het steekproefgemiddelde? Geef dit in twee decimalen nauwkeurig.
Slide 29 - Open question
95%-btbhi: [16,27; 17,73] , n = 300
216,27+17,73=17,00
I________________________I
16,27 17,00 17,73
X
X+2⋅√nS
X−2⋅√nS
Steekproefgemiddelde:
I
Slide 30 - Slide
Uit de vorige vraag kwam uit het onderzoek naar plastic afval een gemiddelde jaarlijkse hoeveelheid van plastic verpakkingen van 17,0 kg naar voren. De steekproefstandaardafwijking bleek 5,5 kg te zijn. Bereken met de GR het aantal huishoudens dat was meegenomen in dit onderzoek.
Slide 31 - Open question
17,73−16,27=1,46
De breedte van het interval komt overeen met
4⋅√nS
4⋅√nS=4⋅√n5,5=1,46
Y1=4⋅√x5,5
Optie G-Solve Intersect geeft x = 227,05... dus 227 huishoudens in deden mee (steekproefomvang).
I________________________I
16,27 17,73
X+2⋅√nS
X−2⋅√nS
Breedte interval:
4⋅√nS=1,46
X
I
Voer in:
Y2=1,46
S=5,5
Slide 32 - Slide
Verdeling steekproefproporties
Populatie- en steekproefproporties --> aangeduid met p
p heeft altijd een waarde tussen 0 en 1 --> 0 < p < 1
deel van geheel b.v. 50 van de 200 --> p = 50/200 = 0,25
gegeven als percentage b.v. 63% --> p = 0,63
Slide 33 - Slide
Bereken met de steekproefproportie de standaardafwijking en doe die x 100%.
95% betrouwbaarheidsinterval voor de proportie rode auto's: [0,059; 0,105]
Slide 43 - Slide
Slide 44 - Slide
Jochem doet onderzoek naar de kleur van de personenauto's die in Nederland rondrijden. Hij noteert van 575 auto's de kleur. Van de proportie zwarte auto's is het 95%-betrouwbaarheidsinterval [0,224 ; 0,296].
a) Bereken in twee decimalen nauwkeurig de steekproefproportie van het aantal zwarte auto's in de steekproef.
Steekproefproportie gemiddelde linkergrens en rechtergrens:
20,224+0,296=0,26
Slide 46 - Slide
Jochem doet onderzoek naar de kleur van de personenauto's die in Nederland rondrijden. Hij noteert van 575 auto's de kleur. Van de proportie zwarte auto's is het 95%-betrouwbaarheidsinterval [0,224 ; 0,296].
a) Bereken het aantal zwarte auto's in de steekproef.
Jochem heeft 150 zwarte auto's geteld in de steekproef.
Slide 48 - Slide
Jochem doet onderzoek naar de kleur van de personenauto's die in Nederland rondrijden. Hij noteert van 575 auto's de kleur.
Van de proportie zwarte auto's is het 95%-betrouwbaarheidsinterval [0,224 ; 0,296].
a) Bereken de standaardafwijking van het aantal zwarte auto's in de steekproef.
Slide 49 - Open question
95%-btbhi: [0,224; 0,296] , n = 575
0,296−0,224=0,072
De breedte van het interval komt overeen met
4⋅σ
4⋅σ=0,072
σ=40,072=0,018
dus
I________________________I
0,224 0,26 0,296
p+2⋅σ
p−2⋅σ
Breedte interval:
Standaardafwijking van het aantal zwarte auto's in de steekproef: 0,018
4⋅σ
0,072
I
p
Slide 50 - Slide
In een andere steekproef noteert Jochem van een groot aantal auto's of ze wel of niet elektrisch zijn. Van de proportie 'elektrische auto's' was het 95%-betrouwbaarheidsinterval [0,316; 0,404]. Hoeveel auto's zaten er in totaal in de steekproef?
Slide 51 - Open question
95%-btbhi: [0,316; 0,404] , n = ?
0,404−0,316=0,088
De breedte van het interval komt overeen met
4⋅σ
dus
I________________________I
0,316 0,36 0,404
p+2⋅σ
p−2⋅σ
Breedte interval:
4⋅σ
0,088
I
p
σ=√x0,36(1−0,36)
p=20,316+0,404=0,36
Y1=4⋅√x0,36(1−0,36)
Y2=0,088
Optie G-Solve Intersect geeft x = 476, 03... dus 476 auto's zaten er in de steekproef