Rekenen aan serie/parallel/combinatie (§5.3+§5.4)

• Natuurkunde
• Middelbare school
• havo, vwo
• Leerjaar 4

§5.3 Serie-parallel & §5.4 combischakelingen

V4 - Systematische Natuurkunde

Doel:

Leren hoe de stromen, spanningen en (vervangings)weerstanden te berekenen bij een:

1. serieschakeling (§5.3)

2. parallelschakeling (§5.3)

3. combinatie van serie en parallel (§5.4)

Serieschakeling gecombineerd met een Spanningsdiagram

Vervangingsweerstand (Serie)

In deze paragraaf bespreken we de totale weerstand van een schakeling. We gebruiken hiervoor het begrip vervangingsweerstand (R_v). In de onderstaande afbeelding zien we bijvoorbeeld links twee weerstanden in serie. Rechts zijn deze twee weerstanden vervangen door één vervangingsweerstand.

De vervangingsweerstand van twee weerstanden in serie is gelijk aan:
 
                                                              
waarin:
       = vervangingsweerstand (Ω)
       = weerstand van onderdeel 1 (Ω)
       = weerstand van onderdeel 2 (Ω)

R​v​​

R​1​​

R​v​​=R​1​​+R​2​​

R​2​​

Voorbeeldopgave Serie (1/2)

In een serieschakeling zijn twee lampjes opgenomen. Eén van de lampjes heeft een weerstand van 20 Ω en het andere lampje heeft een weerstand van 70 Ω. De spanning over de spanningsbron is 18 V.
Bereken de spanning over elke weerstand.

In vorige paragrafen losten we dit soort problemen op door te rekenen met de rekenregels voor stroomsterkte en spanning. Bij deze vraag is dit echter niet mogelijk. Met behulp van de vervangingsweerstand kunnen we wel het antwoord op de vraag vinden. Hier geldt:

R​v​​=R​1​​+R​2​​

R​v​​=20+70=90 Ω

Voorbeeldopgave Serie (2/2)

Met de vervangingsweerstand kunnen we verder rekenen. De spanning over de spanningsbron is 18 V, dus is de spanning over de vervangingsweerstand dat ook. Hiermee kunnen we dan de stroomsterkte in de schakeling uitrekenen:

De spanningsbron levert in de rechter schakeling dus 0,20 A. Dit moet dus ook zo zijn in de linker schakeling. Met dit gegeven kunnen we de spanning van beide lampjes berekenen:

(U=IR            I​tot​​=I​1​​=I​2​​)

I​tot​​=​R​v​​​​U​tot​​​​=​90​​18​​=0,20 A

U​1​​=I​1​​⋅R​1​​=0,20⋅20=4,0 V

U​2​​=I​2​​⋅R​2​​=0,20⋅70=14 V

Je schakelt 5 weerstanden van 10, 20, 30, 40 en 50 Ohm in serie. Hoe groot is de vervangingsweerstand?

1. 100 Ohm
2. 150 Ohm
3. 200 Ohm
4. Het goede antwoord staat er niet bij.

Vervangingsweerstand (parallel)

Ook twee weerstanden die parallel zijn aangesloten kunnen we vervangen door een vervangingsweerstand. In dat geval geldt:


waarin:
       = vervangingsgeleidbaarheid (S)
       = geleidbaarheid van onderdeel 1 (S)
       = geleidbaarheid van onderdeel 2 (S)

Hierin staat de eenheid S voor Siemens en staat G voor het omgekeerde van de weerstand:

waarin:
       = geleidbaarheid (S)
       = weerstand (Ω)

Wanneer je                 invult in de formule voor vervangings-

geleidbaarheid krijg je:



Wat de welbekende formule is om de vervangingsweerstand in een parallelschakeling te berekenen.

G​v​​=G​1​​+G​2​​

G​v​​

G​1​​

G​2​​

G=​R​​1​​

R=​G​​1​​

G

R

G=​R​​1​​

G​v​​=G​1​​+G​2​​→​R​v​​​​1​​=​R​1​​​​1​​+​R​2​​​​1​​

Voorbeeldopgave Parallel

In een parallelschakeling zijn twee lampjes opgenomen. Eén van de lampjes heeft een weerstand van 20 Ω en het andere lampje heeft een weerstand van 50 Ω.
Bereken de vervangingsweerstand van deze schakeling.


Eerst rekenen we de geleidbaarheid van de weerstanden uit:

Dan vullen we de formule voor de vervangingsweerstand in:



Met de totale geleidbaarheid kunnen we de vervangingsweerstand van de schakeling uitrekenen:



De vervangingsweerstand van de parallelschakeling is dus 14 Ω. Zoals je kunt zien is de vervangingsweerstand kleiner dan de weerstanden van de componenten! Door twee parallelle weerstanden gaan namelijk meer elektronen dan door één afzonderlijke weerstand. De vervangingsweerstand laat dus meer ladingen door dan de afzonderlijke weerstanden en heeft dus een kleinere weerstand!

G​1​​=​R​1​​​​1​​=​20​​1​​=0,05 S

G​2​​=​R​2​​​​1​​=​50​​1​​=0,02 S

G​v​​=G​1​​+G​2​​

G​v​​=0,05+0,02=0,07 S

R​v​​=​G​v​​​​1​​=​0,07​​1​​=14 Ω

Je schakelt 5 weerstanden van 10, 20, 30, 40 en 50 Ohm allemaal parallel. Hoe groot is de vervangingsweerstand?
(Let NIET op de significantie van de antwoorden)

1. 0,00667 Ohm
2. 0,228 Ohm
3. 4,40 Ohm
4. 150 Ohm

Vervangingsweerstand (gemengd)

Ook van gemengde schakelingen kunnen we de vervangingsweerstand uitrekenen, maar dan moeten we dit in meerdere stappen doen. Kijk bijvoorbeeld eens naar de linker onderstaande schakeling. Eerst vervangen we de twee weerstanden in serie door een vervangingsweerstand R_v,12 (zie de middelste afbeelding hiernaast). Omdat deze weerstanden in serie staan, gebruiken we:

We hebben de gemengde schakeling nu vereenvoudigd tot een gewone parallelschakeling. De totale vervangingsweerstand berekenen we dan als volgt:

R​v,12​​=R​1​​+R​2​​

G​v​​=G​3​​+G​v,12​​

R​v​​=​G​v​​​​1​​

Bereken de totale weerstand (vervangings- weerstand) van de schakeling hiernaast.

1. 6,7 Ω
2. 100 Ω
3. 48,3 Ω
4. 53,3 Ω

Bereken de totale weerstand (vervangings- weerstand) van de schakeling hiernaast.

1. 150 Ω
2. 105 Ω
3. 33,3 Ω
4. 26,2 Ω

Opdracht, geef je antwoord in de volgende slide

Opdracht 

Geef je antwoord in de volgende slide