5.5 Logaritmen theorie A, B, C

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4

Huiswerk vraag 66

g(x)=6⋅2​x​​−10

6⋅2​x​​−10=2​x​​

5⋅2​x​​=10

2​x​​=2

x=1

Gegeven:
Translatie (3,7) en vermenigvuldiging met b ten opzichte van y-as geeft:

f(x)=3​x+2​​−5

1. g(x)=b(3​x+5​​+2)
2. g(x)=b(3​x−1​​+2)
3. g(x)=3​​b​​1​​x−1​​+2
4. g(x)=3​​b​​1​​x+5​​+2

A: '+3' in plaats van '-3' gedaan en vermenigvuldiging tov x-as met b

B: 'vermenigvuldiging tov x-as met b

C: goed

D: '+3' in plaats van '-3'

Gegeven:
Punt A (-16, 83) ligt op de grafiek van g. Bereken b exact.

g(x)=3​​b​​1​​x−1​​+2

Uitwerking

3​​b​​1​​⋅−16​​+2=83

3​​b​​1​​⋅−16​​=81

3​​b​​1​​⋅−16​​=3​4​​

​b​​1​​⋅−16=4

​b​​1​​=​−16​​4​​

4b=−16

b=−4

5.5 Logaritmen 

Gegeven:
Wat is x?

2​x​​=8

Gegeven:
Gevraagd: x

4​x​​=64

1. x=3
2. x=16
3. ​4​​√​64​​​

A: goed

B: 64/4 in plaats van 4 log 64

C: deze oplossing past bij x^4=64

Gegeven:
Gevraagd: x?

2​x​​=12

Logaritmen als 'tegenovergestelde van machtsverheffen' zoals kwadrateren het 'tegenovergestelde is van worteltrekken'

2​x​​=8

​2​​log(2​x​​)=​2​​log(8)

x=3

√​x​​​=3

(√​x​​​)​2​​=3​2​​

x=9

Logaritmen; de theorie

                   is een exponent. Het grondtal van de
macht is 2 en de uitkomst is 8.

2​x​​=8

x=​2​​log(8)=​2​​log(2​3​​)=3

​2​​log(8)

​2​​log(8)

Het grondtal van de logaritme is bij dit voorbeeld 2

Logaritmen, twee voorbeelden

2​x​​=8

​2​​log(2​x​​)=​2​​log(8)

x=3

​2​​log(2​x​​)=​2​​log(2​3​​)

3​x​​=81

​3​​log(3​x​​)=​3​​log(81)

​3​​log(3​x​​)=​3​​log(3​4​​)

x=4

Logaritmen uit het hoofd berekenen

2​x​​=8

​2​​log(2​x​​)=​2​​log(8)

x=3

​2​​log(2​x​​)=​2​​log(2​3​​)

​3​​log(81)=​3​​log(3​4​​)=4

​2​​log(8)=​2​​log(2​3​​)=3

​5​​log(125)=​5​​log(5​3​​)=3

​5​​log(√​5​​​)=​5​​log(5​​2​​1​​​​)=​2​​1​​

​4​​log(​4​​1​​)=​4​​log(4​−1​​)=−1

Samen 69 abe, zelf 69 afmaken

69a:
We zoeken de exponent van de macht met grondtal 5 die als uitkomst 125 heeft, dus schrijven we 125 als macht van 5

69b: 

We zoeken de exponent van de macht met grondtal 10 die als uitkomst 0,1 heeft, dus schrijven we 0,1 als macht van 10

69e

We zoeken de exponent van de macht met grondtal 2 die als uitkomst 
heeft, dus schrijven we           als macht van 2

5​...​​=125?

10​...​​=0,1?

0,1=​10​​1​​=10​−1​​

√​2​​​

√​2​​​

2​...​​=√​2​​​?

√​2​​​=2​​2​​1​​​​

​q​​√​x​p​​​​​=x​​q​​p​​​​

Samen 70 ab, thuis 70 afmaken

70a:
We zoeken de exponent van de macht met grondtal 2 die als uitkomst 
heeft, dus schrijven we               als macht van 2

70b: 

We zoeken de exponent van de macht met grondtal 3 die als uitkomst 
 heeft, dus schrijven we            als macht van 3

2​...​​=64√​2​​​?

3​...​​=​9​​1​​√​3​​​?

64√​2​​​

64√​2​​​

64√​2​​​=2​6​​⋅2​​2​​1​​​​=2​6​2​​1​​​​

​9​​1​​√​3​​​

​9​​1​​√​3​​​

​9​​1​​√​3​​​=​3​2​​​​1​​⋅3​​2​​1​​​​=3​−2​​⋅3​​2​​1​​​​=3​−1​2​​1​​​​

73 ab samen, zelf afmaken

Eerder klaar? verder met 74

Een logaritmische grafiek op de GR

Via: MATH-A- logbase

Het grondtal zet je in het kleine vakje rechtsonder na log. Tussen haakjes zet je het andere getal.

Plot de grafieken van
en van
op je GR.
Welke stelling hieronder klopt?

f(x)=​2​​log(x)

g(x)=​​2​​1​​​​log(x)

1. De grafieken gaan door (1,0) en de asymptoot is de y-as
2. De grafieken gaan door (1,0) en de asymptoot is de x-as
3. De grafieken gaan door (0,1) en de asymptoot is de y-as
4. De grafieken gaan door (0,1) en de asymptoot is de x-as

De verticale asymptoot bij een logaritmische standaardfunctie is de y-as (x=0). Welke transformatie heeft invloed op de formule van de asymptoot?

1. vermenigvuldiging tov x-as
2. vermenigvuldiging tov y-as
3. translatie (a,0)
4. translatie (0,a)

Hoe is de grafiek van
ontstaan uit de standaardgrafiek?

l(x)=​3​​log(2x)+5

1. Translatie (0,5) verm tov x-as, 2
2. Translatie (0,5) verm tov y-as, 2
3. Translatie (0,5) verm tov x-as, 3 verm tov y-as, 1/2
4. Translatie (0,5) verm tov y-as, 1/2

A: Vermenigvuldiging tov x-as in plaats van y-as

B: Vermenigvuldiging tov y-as wel goed, maar moet 1/2 zijn

C: Het grondtal van de logaritme gezien als '3*'

D: Goed

De volgende transformaties worden toegepast op de grafiek van
Eerst 4 omhoog, dan vermenigvuldigen tov de y-as met 1/3 en ten slotte 2 naar links. Geef de formule van de beeldgrafiek

y=​3​​log(x)

1. y=​3​​log(3x+6)+4
2. y=​3​​log(3x+10)
3. y=​3​​log(3x+2)+4
4. y=​3​​log(3x+6)

A: goed

B: antwoord van A, maar dan 6 en 4 nog bij elkaar opgeteld. 

C: 'x' moet vervangen worden door 'x+2', en nu is 3x vervangen door '3x+2'

D: zie C, maar dan 2 en 4 nog opgeteld

Uitwerking (lijkt op 79d)

y=​3​​log(x)

y=​3​​log(x)+4

y=​3​​log(3x)+4

y=​3​​log(3(x+2))+4

y=​3​​log(3x+6)+4

Herhaling grafieken bij een exponentiele functie

Grafieken bij een logaritmische functie

Combinatie exponentieel en logaritmisch 

Zelf: vraag 80 (zonder uitwerkingen)

80c en d

 81a

Vraag 81b

 81c

Gegeven:
Welke stelling over het ontstaan van de grafiek van f uit de standaardgrafiek en de asymptoot klopt?

f(x)=​2​​log(5x−15)

1. verm. tov y-as met 1/5 translatie (15,0) asymptoot x=15
2. translatie (15,0) verm. tov y-as met 1/5 asymptoot x=15
3. verm. tov y-as met 1/5 translatie (3,0) asymptoot x=3
4. translatie (3,0) verm tov y-as met 1/5 asymptoot x=3

A: Deze translatie zou zorgen voor
5(x-15)=5x-75

B: translatie en vermenigvuldiging klopt, asymptoot niet

C: Goed

D: Dit zou geven '5x-3' in plaats van '5x-15'

Uitwerking

f(x)=​2​​log(5x−15)

y=​2​​log(x)

y=​2​​log(5x)

y=​2​​log(5(x−3))

verm tov y-as, 1/5

translatie (3,0) dus asymptoot x=3

haakjes wegwerken

2e manier
asymptoot:
5x-15=0

5x=15

x=3

Uitwerking 82