Goniometrie

• Wiskunde
• Middelbare school
• vmbo k, g, t
• Leerjaar 3

Goniometrie herhaling 

Goniometrie

Onderwerpen van deze les:

• Een rechthoekige driehoek 
• Symbolen, zijden en 
  drieletternotatie
• Afronden 
• Hellingspercentage berekenen
• Overstaande en aanliggende                                             rechthoekszijde bepalen                  

• Tangens van een hoek berekenen
• Hoek in graden berekenen met tangens van die hoek
• Aanliggende rechthoekszijde berekenen
• Overstaande rechthoekszijde berekenen

1

Samenvatting van H5

Een rechthoekige driehoek bestaat uit:

• 3 hoeken (bijvoorbeeld: A, B en C)
• 2 rechthoekzijden die aan de rechte hoek liggen
• 1 langste zijde (ook wel schuine zijde genoemd)
• een rechthoekteken die de rechte hoek aangeeft.

2

Symbolen, zijden en 

drieletternotatie (voorkennis)

• Het symbool voor een hoek is ∠
• Het symbool voor graden is °
• De naam van een zijde wordt bepaald door de hoekpunten. De zijde tussen ∠A en ∠C heet dus zijde AC 

We kunnen een hoek ook met drie letters noteren. Dit is de drieletternotatie. 

∠B loopt bijvoorbeeld van A, via B,  naar C. De drieletternotatie van ∠B is dus ∠ABC.

3

Welke zijden zijn
de rechthoekszijden?

hulp

∠B is de rechte hoek

1. AB en AC
2. AB en BC
3. AC en BC
4. CA en BA

Wat is de drieletternotatie van de hoek met het vraagteken?

hulp

Bij de drieletternotatie staat de hoek waar het om gaat altijd in het midden

1. ∠F
2. ∠GEF
3. ∠EGF
4. ∠EFG

Afronden 

(voorkennis)

Een antwoord moet je vaak afronden op een gegeven aantal decimalen. Decimalen zijn de cijfers achter de komma. 

Als je niet meer precies weet hoe dat moet, bekijk dan het extra uitlegfilmpje over afronden en klik op het oogje.

Filmpje afronden (Nederlands)

https://www.youtube.com/watch?v=sdYxIowkQgw

4

Schrijf de breuk -- als een getal met een komma en rond af op 2 decimalen

​16​​2​​

hulp

Bij 2 decimalen, staan er 2 cijfers achter de komma, maar het derde cijfer achter de komma bepaalt wel of het tweede cijfer achter de komma gelijk blijft of 1 omhoog gaat.

1. 0,1
2. 0,12
3. 0,125
4. 0,13

Hellingspercentage

Hellingspercentage 

Het hellingspercentage geeft aan hoe steil  een schuine lijn loopt ten opzichte van een horizontale lijn.

Het antwoord is altijd in procent (%)

5

Hellingspercentage berekenen (1)

Om het hellingpercentage te berekenen moet je weten:

• Wat is het hoogteverschil? 
• Wat is de horizontale afstand                               

Gebruik deze formule:

6

Filmpje hellingspercentage (Nederlands)

https://www.youtube.com/watch?v=-LAVKY3P3NI

Wat is het hellingspercentage van ∠C?
(rond af op 1 decimaal)

hulp

hoogteverschil = 3 en horizontale afstand = 5

hulp

gebruik de formule: hoogteverschil / horizontale afstand x 100

1. 60,0%
2. 0,6%
3. 166,7%
4. 1,7%

Hellingspercentage berekenen (2)

Als je weet hoe groot een hoek is in graden, kun je ook het hellingspercentage van die hoek berekenen.

Daarvoor heb je de tan-knop van je rekenmachine nodig.

tan is een afkorting voor: tangens. Hiermee gaan we zo mee verder.

Let op!

Op sommige rekenmachines kan de tangens-knop ook ergens anders zitten

7

Hellingspercentage berekenen (2)

Als je weet hoe groot een hoek is in graden, gebruik je de volgende formule om het hellingspercentage te berekenen: 

 

 

 

Dus bij het voorbeeld rechts bereken je de hellingspercentage van ∠C als volgt:  

                                  tan(20°) x 100

      

hellingspercentage = tan(hoek in graden) x 100

8

Wat is het hellingspercentage van ∠C?

hulp

bereken tan(20°) x 100

1. 36,3 %
2. 36,39 %
3. 36 %
4. 36,4 %

Overstaande en aanliggende rechthoekszijde bepalen

De tangens van een hoek is een getal waarmee je later ook de hoek in graden kunt uitrekenen.

Daarvoor moet je eerst bepalen wat de overstaande rechthoekszijde  van die hoek is en wat de 

aanliggende rechthoekszijde                   van die hoek is.

Kijk vanuit een hoek naar de overkant. Dit is je overstaande rechthoekszijde. De andere rechthoekszijde is dan de aanliggende rechthoekszijde. Hieronder kijk je bijvoorbeeld vanuit ∠C. 

AB = de overstaande rechthoekszijde

AC = de aanliggende rechthoekszijde

9

Wat is de overstaande rechthoekszijde van ∠A?

hulp

Kijk van hoek A naar de overkant. Welke lijn ligt daar?

1. AB
2. BD
3. BC
4. BA

Wat is de aanliggende rechthoekszijde van ∠C?

hulp

Kijk van ∠C naar de overkant. Welke lijn ligt daar? Dat is je overstaande rechthoekszijde. De andere rechthoekszijde is dan dus de aanliggende rechthoekszijde,

1. AB
2. BD
3. BC
4. BA

De tangens 

van een hoek berekenen

Om de tangens van een hoek te bereken gebruik je de volgende formule:

Deze formule kun je afkorten als 

t=​a​​o​​

Voorbeeldvraag

Hieronder staat ΔEFG. Bereken de tangens van ∠G. 

De overstaande rechthoekszijde = EF (2 cm)

De aanliggende rechthoekszijde = EG (5 cm)

De tangens van ∠G = 

​5​​2​​=0,4

10

Bereken de tangens van ∠F

(rond af op 1 decimaal)

hulp

De overstaande rechtshoekszijde = EG en de aanliggende rechthoekszijde = EF

1. 2,5
2. 0,4
3. 3,0
4. 0,5

Hoek in graden berekenen met de tangens van die hoek.

Als je eenmaal de tangens van een hoek hebt berekend, kun je die hoek ook in graden berekenen. 

Daarvoor moet je de tan  knop gebruiken.

Om die te kunnen gebruiken moet je op je rekenmachine eerst de shift knop indrukken en dan de tan knop.

De tan  knop rekent de tangens van een hoek om in graden.

Voorbeeldvraag

De tangens van ∠G=  

Hoeveel graden is ∠G ?   

Rond af op 1 decimaal

​5​​2​​=0,4

^-1

^-1

Antwoord:    ∠G = tan  (0,4) = 21,8°   

^-1

11

Hoeveel graden is ∠F ?

(rond af op 1 decimaal)

hulp

De overstaande rechtshoekszijde = EG en de aanliggende rechthoekszijde = EF. De tangens van ∠F is dus 5/2=2,5

1. 21,8°
2. 68,1°
3. 68,19°
4. 68,2°

De aanliggende rechthoekszijde berekenen

Stel je weet van een hoek hoe groot deze is in graden en hoe lang de overstaande rechthoekszijde is. Dan kun je ook de lengte van de aanliggende rechthoekszijde berekenen door de formule 

te herschrijven als:

Voorbeeldvraag

Van onderstaande ΔABC is bekend dat

        ∠C = 30°      en      zijde  AB = 2,5 cm  

(AB is de overstaande rechthoekszijde van ∠C)

Hoe lang is zijde AC ?

(AC is de aanliggende rechthoekszijde van ∠C)

Rond af op 1 decimaal

Antwoord:    BC =                                  cm

​tan(30)​​2,5​​=4,3

Bedenk dat als je som 3 = 6/2  ook kunt herschijven als 2 = 6/3

12

a=​t​​o​​

Bereken de lengte van zijde AB
(rond af op 2 decimalen)

hulp

Aanliggende rechthoekszijde = lengte AC / tan(∠B)

1. 0,54 cm
2. 1,86 cm
3. 1,87 cm
4. 8,58 cm

De overstaande rechthoekszijde berekenen

Stel je weet van een hoek hoe groot deze is in graden en hoe lang de aanliggende rechthoekszijde is. Dan kun je ook de lengte van de overstaande rechthoekszijde berekenen door de formule 

te herschrijven als:

overstaande rechthoekszijde =

tangens hellingshoek x aanliggende rechthoekszijde 

Voorbeeldvraag

Van onderstaande ΔEFG is bekend dat

        ∠G = 25°      en      zijde  EG = 6 cm  

(EG is de aanliggende rechthoekszijde van ∠C)

Hoe lang is zijde EF ?

(EF is de overstaande rechthoekszijde van ∠C)

Rond af op 1 decimaal

Antwoord:    EF =  tan(25) x 6  =  2,8 cm

Bedenk dat als je som 3 = 6/2  ook kunt herschijven als 6 = 2x3

13

o=t⋅a

Bereken de lengte van zijde EG
(rond af op 2 decimalen)

hulp

Overstaande rechthoekszijde = tan(∠B) x lengte EF

1. 5,36 cm
2. 1,17 cm
3. 5,4 cm
4. 1,2 cm