Oefenles Exponenten en Logaritmen

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 6

Exponenten en Logaritmen

VWO 6 Wiskunde A

Exponentiële groei

Een hoeveelheid neemt per jaar met 3,2 % toe. Wat is het groeipercentage per maand?

1. 1,032%
2. 1,003%
3. 0,3%
4. 0.03%

Groeipercentage per jaar is 3,2 %

Groeifactor per jaar is (100+3,2)/100=103,2/100 = 1,032%

Groeifactor per maand is 1,032^1/12 = 1,002628...

Groeipercentage per maand is  0,3%

Belangrijk: bij exponentiële groei gaat het omzetten van groeipercentages via groeifactoren.

Sleep de vraag naar het goede antwoord. Let op: er zijn meer antwoorden dan vragen!!

6,1 %

14,8 %

237,6 %

22,3 %

0,5 %

3,5 %

Een hoeveelheid neemt per week met 3,2 % toe. Wat is de procentuele toename per dag?

Een hoeveelheid neemt per maand met 0,3 % af. Wat is de procentuele afname per jaar?

Een hoeveelheid neemt per dag met 310 % toe. Wat is de procentuele toename per uur?

Bij een exponentiële groei hoort een groeifactor van 0,948 per 5 minuten. Wat is de procentuele afname per kwartier?

A. Groeipercentage per week is 3,2% --> groeifactor per week 1,032

     Groeifactor per dag wordt dan 1,032^1/7= 1,0045.....

     Groeipercentage per dag wordt dan 0,45...        0,5%

≈

(van week naar dag)

B. Afname per maand is 0,3% --> groeifactor per maand 0,997

     Groeifactor per jaar wordt dan 0,997¹² = 0,9645.....

     Procentuele afname per jaar wordt dan 100-96,45...        3,5%

≈

C en D gaan net zo, bij D is echter de groeifactor al gegeven.

Bij C betekent een toename van 310% een groeifactor van 4,1!

Omrekenen via groeifactoren!!

(van maand naar jaar)

De bevolking van een land neemt jaarlijks met 0,3% toe. Bereken de verdubbelingstijd in jaren.
Werk deze opgave in je schrift uit, maak een foto en stuur deze in.

Van een stad is bekend dat de bevolking toeneemt met een verdubbelingstijd van 18 jaar. Bereken de groeifactor per jaar in drie decimalen nauwkeurig

Verdubbelingstijd is 18 jaar dus 

groeifactor g_18jaar =2

groeifactor g_jaar = 2^1/18= 1,0392...       1,039 

≈

Een hoeveelheid neemt elk jaar met 3% af. Bereken de halveringstijd in maanden nauwkeurig. 

Afname per jaar 3% --> groeifactor 0,97

Gevraagd wordt de halveringstijd dus moet gelden:

0,5 = 1 * 0,97^t = 0,97^t

Met GR: y₁= 0,97^x

                y₂= 0,5

Intersect geeft x=22,756....  x is het aantal jaren

Omrekenen naar maanden geeft 22,756... * 12 = 273,081...  

dus afgerond 273 maanden of 22 jaar en 9 maanden.

(Beginwaarde van 1 wordt gehalveerd naar 0,5)

Een hoeveelheid halveert elke 5 weken. Bereken het percentage waarmee de hoeveelheid per dag afneemt in één decimaal nauwkeurig. 

Werk de opgave uit in je schrift, maak er een foto van en stuur deze via dit programma op. 

t	5	9
N	430	785

De tabel hoort bij exponentiële groei. Welke formule hoort hierbij?

1. N=203⋅1,162​t​​
2. N=21⋅1,826​t​​
3. N=450⋅1,826​t​​
4. N=430⋅1,162​t​​

Logaritmen

Nog even de regels (zo krijg je ze ook bij het eindexamen):

En: ^glog(g) = 1

        ^glog(1) = 0 

Sleep de opgave naar het juiste antwoord

Voer deze opdracht uit zonder rekenmachine. Het gaat om het leren omgaan met logaritmen.

4

12

3

1/2

2

0

kan niet

-2

log(100)=

²log(8⁴) =

⁴log(9) + ⁴log(1/9) = 

1/7 ³log(3²¹) =

⁵log(1875) - ⁵log(3) = 

²log(-16) =

²⁵log(5) =

⁵log(1/25) =

N(t)=18,7+13,54⋅log(t)

Met hoeveel neemt N toe als t verdubbelt? Rond af op twee decimalen.

N(t)=18,7+13,54⋅log(t)

Verdubbeling van t betekent:

N(2t)=18,7+13,54⋅(log(2)+log(t))

log(ab)=log(a)+log(b)

N(2t)=18,7+13,54⋅log(t)+13,54⋅log(2)

N(2t)=18,7+13,54⋅log(2t)

Denk aan de haakjes!!

N(t)

N(2t)=N(t)+4,08

13,54⋅log(2)≈4,08

N(2t)=18,7+13,54⋅log(2)+13,54⋅log(t)

N(p)=25,3+8,2⋅log(p​1,35​​)

Toon aan dat als p verdubbelt, N toeneemt met ongeveer 3,3. 

Werk de opgave uit in je schrift en stuur de uitwerkingen op. 

(ab)​x​​=a​x​​⋅b​x​​

Hint:

Gegeven:

N(d)=13+blog(d)

Er geldt: als d halveert, neemt N met 3,5 af. Bereken b in twee decimalen nauwkeurig.

Werk de opgave uit in je schrift en stuur de uitwerkingen op. 

Sleep de opgave naar het juiste antwoord

Voer deze opdracht uit zonder rekenmachine. Het gaat om het leren omgaan met natuurlijke logaritmen.

4

6

5

1

wortel 10

0

kan niet

-1

ln(e) =

ln^2ln(2) = 

ln(1) = 

e^ln(2) + e^ln(3) =

e^1/2ln(10) = 

ln(1/e)

2ln(e³) =

ln(-5) =

Korte herhaling differentiëren

Nog even de regels (zo krijg je ze ook bij het eindexamen):

Bereken de afgeleides van: 

a)

b)

y=10⋅e​−5x​​

y=175⋅2​4x​​

Denk aan de kettingregel!

En:  f(x) = e^x  geeft   f'(x) = e^x

        f(x) = g^x geeft f'(x) = g^{x .} ln(g)

Maak een foto van de uitwerkingen en stuur deze op!

en geef voor allebei de groeisnelheid als x = 2,5 in 2 decimalen nauwkeurig.

Bereken de afgeleides van: 

a)

b)

y=ln(−2x+1)

y=8x+log(3x)

Denk aan de kettingregel!

En:  f(x) = ln(x)  geeft   f'(x) = 1/x

         f(x) = ^glog(x)  geeft f'(x) = 1/(x ^. ln(g))                                    

Maak een foto van de uitwerkingen en stuur deze op!

en geef voor allebei de groeisnelheid als x = 4 in 2 decimalen nauwkeurig.

Hoe vond je de les, wat vind je lastig en waar zou je graag extra aandacht aan besteed willen hebben? 

Differentiëren, wanneer en waar? Werken met logaritmen? Regels voor differentiëren? Werken met natuurlijke logaritmen? Of nog een ander onderwerp? Geef dat vooral door!