Hoofdstuk 12: rijen

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 5

Welkom in vwo 6 wiskunde A

Programma wiskunde A

Wat ga je vandaag leren?

Wat een getallenrij is

Wat een recursieve formule is

Wat een directe formule is
 

Maak af

2 - 4 - 6 - 8 - 10

3 - 9 - 27 - 81 - 243

1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13

Recursief en direct

Recursieve formule:              en 

Directe formule: U = 20n + b                  

U​0​​

U​n​​=U​n−1​​+20

Aan de slag

Hoofdstuk 12, paragraaf 1 (blz 13)

Opdracht 2, 3, 5, 7

Rekenkundige en meetkundige rijen

Wat ga je vandaag leren?

Wat rekenkundige rijen zijn

Wat meetkundige rijen zijn

Hoe je formules opstelt van rekenkundige en meetkundige rijen

 

Rekenkundige rij

Bijvoorbeeld: 3 - 6 - 9 - 12 - 15

Stel hierbij een recursieve formule op en een directe formule 

Meetkundige rij

Bijvoorbeeld: 3 - 6 - 12 - 24 - 48 - 96

Stel hierbij een recursieve formule op en een directe formule 

Aan de slag

10, 11, 12, 15, 16

Opdracht 13 alleen voor wie een extra uitdaging leuk vindt

Begintermen U0 en U1

Wat ga je vandaag leren?

Welke begintermen je kunt gebruiken voor een reeks

Welke invloed dit heeft op de formules die je opstelt

25, 29, 33, 37

Bekijk de reeks hierboven en stel een directe en recursieve formule op

25, 29, 33, 37

Noem 25 nu niet U0, maar U1

Wat verandert er nu in je recursieve en je directe formule?

80, 40, 20, 10, 5

Kies ook hiervoor beginterm U1 en stel een recursieve en een directe formule op

Aan de slag

20, 21, 24, 25, 26

Verschillende notaties

Wat ga je vandaag leren?

Welke verschillende notaties er zijn voor recursieve formules

Recursieve formules

                                                        is hetzelfde als 

Andere mogelijkheden zijn:

Andere letter kiezen voor U. Bijvoorbeeld: 

Beginnen met U (n+1). Bijvoorbeeld: 

u​n​​=u​n−1​​+100

u(n)=u(n−1)+100

A​n​​=(A)​n−1​​+100

A​n+1​​=A​n​​+100

Aan de slag

29, 30, 31

Niet veel, maar doe het wel netjes

Het rijen-invoerscherm van de GR

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je recursieve formules invoert op de GR

Voorbeeld

Gegeven is de recursieve formule:                            

met 

a) Bereken de 8e term

b) Vanaf welke term is u voor het eerst groter dan 500?

u​n​​=1,5⋅u​n−1​​−4

u​0​​=10

Aan de slag

35 t/m 39

Van 38 en 39 maak je opdracht c NIET

Recursieve en directe formules opstellen

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je recursieve en directe formules opstelt bij verhaaltjes

Voorbeeld

In een natuurgebied op de Veluwe leeft op 1 juli 2015 een populatie van 275 Schotse Hooglanders. De populatie groeit jaarlijks met 8%. Natuurbeheer maakt zich zorgen over de omvang van de populatie en besluit per 1 juli 2016 jaarlijks 30 Schotse Hooglanders naar een ander gebied te verplaatsen. 

a) Stel een recursieve formule op voor het aantal Schotse hooglanders Hn.

b) Hoeveel Schotse Hooglanders moeten vanaf 1 juli 2016 jaarlijks verplaatst worden om de populatie op de Veluwe op peil te houden?

Aan de slag

42 t/m 45

Patronen en meetkundige figuren

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je een recursieve formule maakt van een directe formule

Dit kun je al

Gegeven is de directe formule 

Geef hierbij de recursieve formule

u​n​​=2n+4

Maar hoe moet dit dan?

Bij de figuur hiernaast

hoort de formule  

Stel hierbij de recursieve formule op

u​n​​=n​2​​

Even zelf proberen

Stel een recursieve formule op bij de gegeven directe formule

K​n​​=n​2​​−n

Uitwerking

en                                                         

K​n​​=n​2​​−n

K​n−1​​=(n−1)​2​​−(n−1)

K​n−1​​=n​2​​−2n+1−n+1=n​2​​−3n+2

K​n​​−K​n−1​​=n​2​​−n−(n​2​​−3n+2)=2n−2

K​n​​=K​n−1​​+2n−2

Aan de slag

47, 49, 51, 52

let op, bij 52c krijg je een heel hoog antwoord

Sigmanotatie

Wat ga je vandaag leren?

Wat de sigmanotatie betekent en hoe je een som uitrekent

Bijvoorbeeld

Bereken in de rij                                   de som van de termen 

u​n​​=2n+3

u​0​​+u​1​​+u​2​​+u​3​​+u​4​​

Sigmanotatie

                                        

                                of                       met 

​n=0​∑​4​​(2n+3)

​n=0​∑​4​​u​n​​

u​n​​=2n+3

Aan de slag

55, 56, 57, 58

Recursieve formule van een somrij

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je de recursieve formule van een somrij opstelt en invoert op de grafische rekenmachine

Wat is een somrij?

Gegeven is                                         met 

De termen zijn:                            De somrij is:

u​n​​=u​n−1​​+2

u​0​​=3

u​1​​=u​0​​+2=3+2=5

u​2​​=u​1​​+2=5+2=7

S​0​​=u​0​​=3

S​1​​=u​0​​+u​1​​=3+5=8

S​2​​=u​0​​+u​1​​+u​2​​=3+5+7=15

u​0​​=3

De recursieve formule van een somrij

                                   met                  geeft                                                  

met 

  Hoe voer je dit in op de rekenmachine?    

S​n​​=S​n−1​​+u​n−1​​+2

u​n​​=u​n−1​​+2

u​0​​=3

S​0​​=3

Aan de slag

61 t/m 73

Kies hiervan (minimaal) 4 opdrachten om te maken