IDM-H9.4C Soorten groei

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 5

Instapvraag - Exponentiële formule opstellen

Een hoeveelheid neemt exponentieel toe. 

Op t=5 is N=84 en op t=23 is N=244. 

Hierbij is t  in maanden. Stel de formule op van N. 

Stappenplan: 

• Schrijf algemene vorm op: N = b x g^t
• Bereken de groeifactor, per tijdseenheid. 
• Bereken b door een gegeven punt in te vullen. 
• Schrijf de juiste exponentiële formule op

Stap 1 & 2 

Op t=5 is N=84 en op t=23 is N=244. 

Hierbij is t in maanden. Stel de formule op van N. 

N

 

=b⋅g​t​​

g(per18maanden)=​84​​244​​

g(p.m.)=(​84​​244​​)​​18​​1​​​​=1,061...

Stap 3 & 4

Op t=5 is N=84 en op t=23 is N=244. 

 

N                                      of   N 

Een punt invullen:

                                          

                                          

 

=b⋅​⎝​⎜​⎜​⎛​​(​84​​244​​)​​18​​1​​​​​⎠​⎟​⎟​⎞​​​t​​

=b⋅(1,061...)​t​​

84=b⋅​⎝​⎜​⎜​⎛​​(​84​​244​​)​​18​​1​​​​​⎠​⎟​⎟​⎞​​​5​​

Y1=84 

Y2=

b⋅​⎝​⎜​⎜​⎛​​(​84​​244​​)​​18​​1​​​​​⎠​⎟​⎟​⎞​​​5​​

Intersect geeft: 

Dus b=62 

N

x≈62

=62⋅(1,061)​t​​

Herhaling vorige les

• Het verzadigingsniveau kunnen beredeneren. 
  
• Aan de hand van de formule kunnen beredeneren of de formule stijgend of dalend is. 

Verzadigingsniveau 

• grenswaarde = verzadigingsniveau
  
• y-waarde waar de grafiek op termijn naar toe gaat. 
• Voorbeelden: 

Fruitvliegjes in een afgesloten ruimte 
De groei van een zonnebloem 
Vissen in een vijver

Verzadigingsniveau beredeneren

Stappenplan:

1. Formule splitsen, beginnen bij ..t
2. t heel groot maken en invullen. (t=10000000)

Verzadigingsniveau beredeneren

N1=50(1-0,6t)  (N: aantal bacteriën en t: tijd in dagen)

Verzadigingsniveau beredeneren door 

t heel groot te nemen: 

Als t heel groot is dan:

0,6t        0

1-0,6t        1 

Dus het verzadigingsniveau is 50 bacteriën. 

≈

≈

50(1−0,6​t​​)≈50

Formule stijgend of dalend voor         ?

Beredeneren

N1=50(1-0,6t) (N: aantal bacteriën en t: tijd in dagen)

Je bepaalt of de grafiek stijgend of dalend is zonder getallenvoorbeelden in je uitwerkingen op te schrijven. Op de GR kun je getallen uitproberen.

Beredenering: 

Als t toeneemt, dan neemt 0,6t af. Dan neemt 1-0,6t toe. 

Dus neemt 50(1-0,6t) toe. 

De grafiek van N is dus stijgend. 

t≥0

Oefenen

Gegeven is de formule N=

N: aantal bacteriën 

t: tijd in dagen 

• Oefening 1: Beredeneer het verzadigingsniveau.
• Oefening 2: Beredeneer aan de hand van de formule 

      of de grafiek stijgend of dalend is voor           . 

​1+2,3⋅0,4​t​​​​750​​

t≥0

Gegeven:

Beredeneer het verzadigingsniveau en stuur een foto

​1+2,3⋅0,4​t​​​​750​​

Gegeven:

Beredeneer of de grafiek stijgend/dalend is voor

​1+2,3⋅0,4​t​​​​750​​

t≥0

Uitwerking oefening 1

Beredeneer het verzadigingsniveau.

N=                             (N: aantal bacteriën en t: tijd in dagen)

Als t heel groot is dan:

        

Dus dan is N                                     

Dus het verzadigingsniveau is 750 bacteriën. 

​1+2,3⋅0,4​t​​​​750​​

1+2,3⋅0,4​t​​≈1

2,3⋅0,4​t​​≈0

0,4​t​​≈0

​1+2,3⋅0,4​t​​​​750​​

≈

≈​1​​750​​=750

Uitwerking oefening 2

Beredeneer aan de hand van de formule of de grafiek stijgend of dalend is voor         . 

N=

Als t toeneemt, dan neemt 0,4t af. Dan neemt                    af. 

Dus neemt                           af. Dus neemt                       toe.  

Dus grafiek van N is stijgend. 

t≥0

​1+2,3⋅0,4​t​​​​750​​

2,3⋅0,4​t​​

1+2,3⋅0,4​t​​

​1+2,3⋅0,4​t​​​​750​​

maken 62, 63, 64