Hoofdstuk 6: dynamische modellen

Discrete Dynamische Modellen
1 / 35
suivant
Slide 1: Diapositive
WiskundeMiddelbare schoolvwoLeerjaar 5

Cette leçon contient 35 diapositives, avec diapositives de texte.

time-iconLa durée de la leçon est: 60 min

Éléments de cette leçon

Discrete Dynamische Modellen

Slide 1 - Diapositive

Webgrafieken

Slide 2 - Diapositive

met
1. Bereken U0 t/m U5
2. Maak een assenstelsel waarbij je op beide assen U0 t/m U5 uitzet.
3. Teken de volgende punten in je assenstelsel:
(U0, U1), (U1, U2), (U2, U3), etc. 
4. Welke formule hoort er bij de lijn waar deze punten op liggen?

Un=2Un1+1
U0=1

Slide 3 - Diapositive

Webgrafieken


Mét y = x, zonder rekenwerk

Slide 4 - Diapositive

Dekpunt 

x- coördinaat van het snijpunt van y = ax + b en y = x


Slide 5 - Diapositive

Slide 6 - Diapositive

GR 
2nd - zoom (format) - Web

Formule invoeren

Trace - pijltjes - tadaa :-)

Slide 7 - Diapositive

Aan de slag

Maak zelf 9, 10, 11, 12, 13

Slide 8 - Diapositive

Directe formules 

Slide 9 - Diapositive

Even ophalen
Bij de recursieve formule                                             (U0, U1), (U1, U2) etc. in een assenstelsel zetten gaf welke lijn? 

Een directe formule bij                                                met                        geeft (met gewoon 'U' en 'n' op de assen):




Un=2Un1+1
Un=Un11,08
U0=100

Slide 10 - Diapositive

Stapje moeilijker
                                                   met

De directe formule hiervoor heeft de vorm 
Met       het dekpunt en A een constante.





Un=Un11,08+500
U0=100
un=Aan+ u
u

Slide 11 - Diapositive

Bewijs
De recursieve formule is 
De directe formule heeft dan de vorm 
Dit geeft 
Substitueren geeft: 

Dus 
Dit volgt ook uit de recursieve formule, dus de formule is correct
un=aun1+b
un=Aan+u
un1=Aan1+u
Aan+u=a(Aan1+u)+b
Aan+u=Aan+au+b
u=au+b

Slide 12 - Diapositive

Praktischer
                                                   met

Stap 1: bereken het dekpunt met 1,08ū + 500 = ū

Stap 2: vul ū, U0, n en a in, in de standaard directe formule: 

Stap 3: bereken A en geef de formule





Un=Un11,08+500
U0=100
un=Aan+ u

Slide 13 - Diapositive

Uitgewerkt
                                                   met

1,08ū+500 = ū dus 0,08ū = -500 dus ū = - 6250


A = 6350





Un=Un11,08+500
U0=100
100=A1,0806250
100=A6250
un=63501,08n6250

Slide 14 - Diapositive

Aan de slag

20, 21, 22, 23

Slide 15 - Diapositive

Differentievergelijkingen bij logistische groei

Slide 16 - Diapositive

Stel de recursieve formule op

Een populatie van 4000 herten neemt jaarlijks met 5% toe. 

Slide 17 - Diapositive

Even opsplitsen


0,05 (de jaarlijkse toename) noemen we ook wel de groeivoet.

Is het reëel om te denken dat de populatie herten altijd blijft groeien?
Un=Un1+0,05Un1

Slide 18 - Diapositive

Remfactor
- Heeft alleen invloed op de groeivoet

- Wordt sterker naarmate de populatie een bepaalde grenswaarde benadert

Slide 19 - Diapositive

Logistische groei:



G = grenswaarde
Un=Un1+0,05Un1(1GUn1)

Slide 20 - Diapositive

Aan de slag

25 , 26, 30

Slide 21 - Diapositive

Webgrafieken bij logistische groei

Slide 22 - Diapositive

Herhaling webgrafieken
Hoe tekende ik ook alweer een webgrafiek bij
met

Hoe berekende ik ook alweer het dekpunt?

Wanneer is er sprake van een grenswaarde?

Un=2Un1+1
U0=1

Slide 23 - Diapositive

Webgrafieken bij logistische groei


Welke formule hoort er bij de punten (P0, P1), (P1, P2) enz.?

Hoe zou je hier een webgrafiek bij kunnen tekenen?

Hoe vind je het dekpunt van deze webgrafiek?
Pt=Pt1+0,5Pt1(120Pt1)

Slide 24 - Diapositive

Aan de slag

34, 35a, 37

Slide 25 - Diapositive

Prooi-roofdiermodellen

Slide 26 - Diapositive

Gedachte-experiment
In een gebied leven prooidieren (hazen) en roofdieren (lynxen).

 Als je alle andere factoren buiten beschouwing laat, hoe zou de populatie van beide groepen zich in de tijd ontwikkelen denk je?

Slide 27 - Diapositive

Een voorbeeld
We bekijken een situatie waarbij er in het begin 700 prooidieren zijn en 200 roofdieren. De formules voor beide groepen zijn:




x min = 0, x max = 250, y min = 0, y max = 2250
Pt=1,25Pt10,0015Rt1Pt1
Rt=0,97Rt1+0,00004Pt1Rt1

Slide 28 - Diapositive

Rekenen met prooi-roofdiermodellen
       en         geven de evenwichtsstanden aan. 



Bereken         en 
P
R
P=1,25P0,0015RP
R=0,97R+0,00004PR
P
R

Slide 29 - Diapositive

Aan de slag

Maak hierbij opdracht 39, 42

Slide 30 - Diapositive

Griepepidemie

Slide 31 - Diapositive

Griepepidemie
G = gezond

Z = ziek

I = Immuun

Gaat uit van een gesloten systeem (G + Z + I = N)

Slide 32 - Diapositive

Model van een griepepidemie
In een dorp met 2000 inwoners geldt 




Kun je in woorden toelichten wat hier gebeurt?



Slide 33 - Diapositive

Aan de slag

Maak hierbij opdracht 48, 49

Slide 34 - Diapositive

Slide 35 - Diapositive