4v afgeleide keuze

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4

Welkom

Dinsdag 12 januari toets

• Hoofdstuk 3.2 t/m 3.4 Vergelijkingen en herleidingen
• Hoofdstuk 2.1 t/m 2.4 De afgeleide functie 

Vandaag

• Overzicht hoofdstuk 2
• Hoe werkt een limiet?
• Oefenen met differentiëren 

• Gelegenheid voor vragen 
  

Extra vragenuur 

vrijdag 8 januari 11.00

maandag 11 januari 16.30

Soorten van stijgen en dalen

Het differentiequotiënt - op een interval en op een steeds kleiner interval.

f(x)=x​3​​−2x​2​​−2x+2

​dx​​dy​​=​x​B​​−x​A​​​​f(x​B​​)−f(x​A​​)​​

De raaklijn van een grafiek in een bepaald punt

• Benader dy/dx met je GR
  
• Stel: de raaklijn is y=ax+b
  
• Dan is a = dy/dx
  
• b reken je uit door het punt in te vullen

f(x)=x​2​​

Van lokaal naar globaal: 

bepaal de helling voor alle waarden van x.

Eerst een schets. 

f(x)=x​3​​−2x​2​​−2x+2

Helling

We maken het interval steeds kleiner. 

Uiteindelijk komen we bij de limiet: "oneindig klein". 

Als we dit doen "voor alle x", dan krijgen we de afgeleide functie. 

f(x)=x​3​​−2x​2​​−2x+2

f​′​​(x)=​h→0​lim​​​h​​f(x+h)−f(x)​​

De afgeleide functie 

De afgeleide van een functie f geeft voor elke x

• De richtingscoëfficient van de raaklijn van de grafiek van f in dat punt.
• de helling van de grafiek van f in dat punt.

Dus: 

De functie koppelt aan elke x een waarde:

De afgeleide functie koppelt aan elke x nóg een waarde, de helling. 

De vorm van de afgeleide functie hangt af van de functie. 

Hoe werkt een limiet? 

Achilles en de schildpad

Hoe werkt een limiet? 

Perforaties

Gegeven

Dus f (x) valt bijna helemaal samen met          nnnn 

Voor x=2 heeft de grafiek een perforatie. 

Er geldt: 

Je kunt zeggen: "4 is de continumakende waarde van f voor x=2."

g(x)=x​2​​

​x→2​lim​​f(x)=4

f(x)=​x−2​​x​3​​−2x​2​​​​

x	f(x)
1	1
1,5	2,25
1,9	3,61
1,95	3,80...
1,99	3,96...

Hoe werkt een limiet? 

De afgeleide van 

f(x)=x​2​​

Met behulp van limieten kun je rekenregels voor differentiëren vinden.   

                                        geeft

                         

                                         geeft

                          

                                          geeft

                                   

                                           geeft

                                            geeft 

                                           

                                            geeft

                                            geeft

Oefenen: Bereken de afgeleide van 

f(x)=a

f(x)=ax

f(x)=ax​n​​

f(x)=c⋅g(x)

s(x)=f(x)+g(x)

f​′​​(x)=0

f​′​​(x)=a

f​′​​(x)=nax​n−1​​

f​′​​(x)=c⋅g​′​​(x)

s​′​​(x)=f​′​​(x)+g​′​​(x)

p​′​​(x)=f​′​​(x)g(x)+f(x)g​′​​(x)

p(x)=f(x)⋅g(x)

f(x)=x​2​​−​2​​1​​x−4

f(x)=(x​2​​+1)(x−1)

f(x)=x(x​3​​−2x)

f(x)=π

q(x)=​n(x)​​t(x)​​

q​′​​(x)=​(n(x))​2​​​​n(x)⋅t​′​​(x)−t(x)⋅n​′​​(x)​​

De raaklijn van een grafiek in een bepaald punt

• Bereken de afgeleide functie 
• Stel: de raaklijn is y=ax+b
  
• Bereken a met behulp van de afgeleide
  
• Bereken b door het punt in te vullen

f(x)=x​2​​

Raaklijn aan grafiek in bepaald punt:

• Bereken de afgeleide functie 
  
• Stel: de raaklijn is y=ax+b
  
• Bereken a met behulp van de afgeleide
  
• Bereken b door het punt in te vullen
  

Raaklijn aan grafiek met bepaalde helling a

• Bereken de afgeleide functie
• stel: de raaklijn is y=ax+b
  


• f'(x)=a geeft de x-coordinaat van het raakpunt (kunnen er meer zijn). 
• Vul de x-coordinaten in om ook de y-coordinaat te vinden. 
• raakpunt invullen in raaklijn geeft b

Fill in the gaps: wat weet je van een functie?

• Functievoorschrift. Bijvoorbeeld
  

• Grafiek - in dit geval: een bergparabool
  

• De afgeleide - die kan je vaak berekenen met de regels voor differentiëren. 
  

• De hellinggrafiek - schetsen adv grafiek of tekenen adv afgeleide.
  

h(x)=−x​2​​−2x+3

Fill in the gap: en nu compleet:

functies en raaklijnen

Fill in the gap: wat als je niet het raakpunt weet, maar de richtingscoefficient?

Fill in the gap: wat als je niet het raakpunt weet, maar de richtingscoefficient?