WIB 4V - H6 Differentiaalrekening - LHE

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4

H6 - Differentiaalrekening

§6.1 Toppen en buigpunten

§6.1A Algebraïsch berekenen van extreme waarden

Deze functie heeft twee extreme waarden.

Extreme waarden zijn:

- maximum

- minimum

Hoe kun je dit herkennen? Waar zitten deze?

§6.1A Algebraïsch berekenen van extreme waarden

Bij deze functie hoort het voorschrift:

Deze functie heeft twee extreme waarden,

te herkennen aan de toppen, op x = 0 en x = 2

f(x)=x​3​​−3x​2​​+2

§6.1A Algebraïsch berekenen van extreme waarden

Deze functie heeft twee extreme waarden,

op x = 0 en x = 2

Je moet dit algebraïsch kunnen bewijzen, hoe?

• Wat weten wij over de afgeleide wanneer
  de functie een top heeft?

f(x)=x​3​​−3x​2​​+2

§6.1A Algebraïsch berekenen van extreme waarden

Wat weten wij over de afgeleide wanneer 
de functie een top heeft --> f '(x) = 0

• Wij lossen dit dus algebraïsch op:
  Los op:  f '(x) = 0
  Schets de grafiek
  Bereken de y-coördinaten van de toppen en geef de extreme waarden

f(x)=x​3​​−3x​2​​+2

§6.1 - Zelfwerkzaamheid

Maken:

§6.1A

§6.1B Aantonen van extreme waarde

Heeft een extreme waarde voor 

Toon dit aan.

f(x)=−​6​​1​​x​3​​−​4​​3​​x​2​​+2x+4

x=−4

§6.1 - Zelfwerkzaamheid

Maken + nakijken:

§6.1A          1 t/m 6

§6.1B          7 t/m 10

§6.1C          12 t/m 17

§6.1C Buigpunt en buigraaklijn

Onderstaande grafiek heeft een "buigpunt"

§6.1C Buigpunt en buigraaklijn

Op het buigpunt verandert de grafiek:

• toenemend dalend -> afnemend dalend
• afnemend dalend -> toenemend dalend
  
  
• toenemend stijgend -> afnemend stijgend
• afnemend stijgend -> toenemend stijgend

§6.1C Buigpunt en buigraaklijn

• toenemend dalend -> afnemend dalend
• afnemend dalend -> toenemend dalend
• toenemend stijgend -> afnemend stijgend
  
• afnemend stijgend -> toenemend stijgend
  

§6.1C Buigpunt en buigraaklijn

Buigpunt bepalen:

Daarvoor plot ik de functie: 

f(x)=x​3​​−x​2​​−x

§6.1C Buigpunt en buigraaklijn

Buigpunt bepalen:

Op het buigpunt geldt  f ''(x) = 0        (tweede afgeleide = 0)

§6.1C Buigpunt en buigraaklijn

Buigraaklijn

Aan het buigpunt kun je ook de formule van de raaklijn opstellen.

Dat noem je dan de buigraaklijn

Formule buigraaklijn opstellen:

1. Vind de coördinaten van het buigpunt (f ''(x) = 0)

2. rc van de buigraaklijn = waarde van f '(x) op buigpunt

3. Stel buigraaklijn op met het punt (1) en r.c. (2)

§6.1 - Zelfwerkzaamheid

Maken + nakijken:

§6.1B          7 t/m 10

§6.1C          12 t/m 17

§6.2 - De afgeleide van machtsfuncties

§6.2A De afgeleide van xⁿ voor gehele n

We kennen al de machtregel voor het differentiëren:

geeft

Deze machtregel geldt óók wanneer n < 0, dus voor negatieve exponenten

f(x)=x​n​​

f​′​​(x)=nx​n−1​​

§6.2A De afgeleide van xⁿ voor gehele n

Bijvoorbeeld

f(x)=x​−2​​

f​′​​(x)=.....

§6.2A De afgeleide van xⁿ voor gehele n

Onthoud deze regel voor negatieve exponenten:

Hiermee differentiëren wij de volgende functie:

x​−p​​=​x​p​​​​1​​

g(x)=− ​x​2​​​​5​​

§6.2A De afgeleide van xⁿ voor gehele n

Let op dat je soms kunt uitdelen, dit scheelt tijd. 

Onderstaande functie kun je niet uitdelen. Hier moet je helaas de quotiëntregel gebruiken. 

​x​2​​​​5x​3​​+x​​

​x+4​​x​3​​−2x​2​​​​

§6.2 - Zelfwerkzaamheid

Maken + nakijken:

§6.2A         20 t/m 29

§6.2B         32 t/m 39

§6.2B De afgeleide van xⁿ voor gebroken exponenten

Stel wij moeten de functie                               differentiëren.

Hiervoor moeten wij de functie h eerst omschrijven naar de vorm xⁿ

^{Onthoud dat geldt:} 

h(x)=2x√​x​​​

​a​​√​x​b​​​​​=x​​a​​b​​​​

§6.2B De afgeleide van xⁿ voor gebroken exponenten

f(x)=2​3​​√​x​​​

f​′​​(x)=.....

§6.2 - Zelfwerkzaamheid

Maken + nakijken:

§6.2A         20 t/m 29

§6.2B         32 t/m 39

§6.3 - De kettingregel

§6.3A - De afgeleide van een samengestelde functie

Wat is de afgeleide?

F(x)=(3x)​2​​

§6.3A - De afgeleide van een samengestelde functie

Wat is de afgeleide?

F(x)=(3x)​2​​

§6.3A - De afgeleide van een samengestelde functie

F(x)=(3x)​2​​

§6.3A - De afgeleide van een samengestelde functie

De functie h is een samengestelde

functie van functies g en f.

F(x)=(3x)​2​​

§6.3A - De afgeleide van een samengestelde functie

Voor de afgeleide van F kun je het haakje uitwerken.

Alleen bij grotere functies, zoals                        kost dat onnodig veel tijd.

F(x)=(3x)​2​​

(3+5x​3​​)​6​​

§6.3A - De afgeleide van een samengestelde functie

Hiervoor gebruik je de kettingregel:

Je differentieert een functie van buiten naar binnen. 

F(x)=(3x)​2​​

§6.3A - De afgeleide van een samengestelde functie

voorbeeld 1:

f(x)=(3+5x​3​​)​6​​

§6.3A - De afgeleide van een samengestelde functie

voorbeeld 2:

voorbeeld 3:

g(x)=√​5x​2​​+4​​​

j(x)=​(6x−1)​4​​​​2​​

§6.3 - Zelfwerkzaamheid

Maken:

§6.3A        42 t/m 53

§6.3B - Kettingregel gecombineerd met de product- of quotiëntregel

Differentieer de volgende functie. Herleid, en laat in het eindantwoord geen negatieve of gebroken exponenten staan.

f(x)=3x​​​⋅√​2x​2​​−5​​​

§6.3 - Zelfwerkzaamheid

Maken:

§6.3B        54 t/m 61

§6.4 - Parameters met de afgeleide

p

§6.4A - Raaklijnproblemen met parameterfuncties

Gegeven is                                         en

              raken elkaar in punt A met 

Bereken p en b op exacte wijze.

f​p​​(x)=​2​​1​​x​2​​+px+4

g(x)=2x+b

f​p​​ en g

x​A​​=4

§6.4 - Zelfwerkzaamheid

Maken:

§6.4A        63 t/m 69

§6.4B - Kromme door toppen

Gegeven zijn                           

Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen van de grafieken van          liggen

f​p​​(x)=x​3​​+px

f​p​​

§6.4 - Zelfwerkzaamheid

Maken:

§6.4B       

§6.4C - Grafieken die elkaar raken met parameters

Gegeven zijn                                             en 

                  raken elkaar.

Bereken de mogelijke waarde(n) voor p.

f​p​​(x)=x​2​​−8x+p

g​p​​(x)=−px

f​p​​ en g

§6.4 - Zelfwerkzaamheid

Maken:

§6.4C      

§6.4D - Loodrecht snijden

Twee grafieken kunnen elkaar snijden onder een hoek van 90°.

Dit noem je loodrecht snijden.

§6.4D - Loodrecht snijden

Deze twee grafieken lijken elkaar rechts

loodrecht te snijden.

Voor twee loodrecht snijdende grafieken geldt

in dat punt:

f​′​​(x) ⋅ g​′​​(x)=−1

§6.4D - Loodrecht snijden

Deze twee grafieken lijken elkaar rechts

loodrecht te snijden.

Voor twee loodrecht snijdende grafieken geldt

in dat punt:

Wat weet ik nog meer in dit punt?

f​′​​(x) ⋅ g​′​​(x)=−1

§6.4D - Loodrecht snijden

Voor twee loodrecht snijdende grafieken geldt:

en

f​′​​(x) ⋅ g​′​​(x)=−1

f(x)=g(x)

§6.4D - Loodrecht snijden

Zie de grafieken van  

en 

Deze grafieken snijden elkaar loodrecht.

Bereken p.

f(x)=​2​​1​​x​2​​−4x+2

g​p​​(x)=−​4​​1​​x+p

§6.4 - Zelfwerkzaamheid

Maken:

§6.4C        

§6.4D