Week 20 6.1 Extreme waarden

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4

Week 20

- herhaling  6.1 theorie A en B

- uitleg theorie C en D over extreme waarden met quizvraagjes tussendoor

Stappenplan raaklijn opstellen

1. f(x) berekenen voor de gegeven x
2. f'(x) berekenen voor de gegeven x
3. de antwoorden van stap 1 en 2 invullen in y=ax+b
4. b berekenen
5. raaklijn noteren

Gegeven: f(x)=4x²+3x+5 en punt A met x_A=1 op de grafiek van f.

Gevraagd: de raaklijn k aan f in A (vb: k:y=3x+4)

Uitwerking:

• k:y=ax+b
• a= f'(x_A)=f'(1)=8*1+3=11
   f'(x)=8x+3  
• yA=f(1)=4*1²+3*1+5=12 dus A(1,12)
  
• invullen A(x_A,y_A) om b te berekenen geeft
  12=11*1+b
  b=1
• k:y=11x+1
  

Gegeven: f(x)=4x²+3x+5 en punt A met x_A=1 op de grafiek van f. 

Gevraagd: de raaklijn k aan f in A (vb: k:y=3x+4)

theorie C en D

Berekenen en aantonen van extreme waarden

• De toppen (minimum en maximum) van f noem je ook wel?
  
• Extreme waarden en in die punten lopen de raaklijnen....?
• horizontaal
• dus is de rc_{raaklijn aan f} in die punten?
• rc_raaklijn=0, dus      f'(xmin)=f'(xmax)=?
• f'(xmin)=f'(xmax)=0
  

Gegeven:

Gevraagd: Voor welke x geldt: f'(x)=0 (vb: x=-1 of x=2)

f(x)=−​3​​1​​x​3​​−2​2​​1​​x​2​​+6x+3

Uitwerking: 

• f'(x)=-x^2_-5x+6
• f'(x)=0 geeft
  x²+5x-6=0
  (x-1)(x+6)=0
  x=-6 of x=1
  
• nu gaan we kijken hoe je dan vervolgens de extreme waarden berekent
  

Gegeven:

Gevraagd: Voor welke x geldt: f'(x)=0 (vb: x=1 of x=2)

f(x)=−​3​​1​​x​3​​−2​2​​1​​x​2​​+6x+3

berekening extreme waarden

• f'(x)=-x²-5x+6
• f'(x)=0 geeft x=-6 of x=1
• maak schets in je schrift mbv GR en kijk of het een minimum of een maximum is
• min. is 
   max. is 
  

f(1)=6​6​​1​​

f(−6)=−51

Extreme waarde berekenen

1. Bereken f'(x)
2. Los op f'(x)=0
3. Schets de grafiek van f in je schrift en lees af of je oplossing van f'(x) in f(x) een minimum om maximum is
4. Noteer: min. f(...)=...      of      max. f(...)=...

Aantonen extreme waarde voor x=a

1. Bereken f'(x)
2. Laat met een berekening zien dat f'(x)=0
3. Schets de grafiek van f in je schrift en laat zien dat de grafiek een top heeft voor x=a
4. conclusie
   

vb: Gegeven:

       Gevraagd: Toon aan dat f een extreme waarde heeft voor

1.  f'(x) berekenen
    
2. gegeven x invullen in f'(x)
   
   
3. schets
   In de schets hiernaast is te zien dat
    de grafiek een top heeft voor
4. conclusie
   dus f heeft een extreme waarde voor 
   

f(x)=​4​​1​​x​4​​+​3​​1​​x​3​​−1​2​​1​​x​2​​−3x

x=√​3​​​

f​′​​(x)=x​3​​+x​2​​−3x−3

f​′​​(√​3​​​)=(√​3​​​)​3​​+(√​3​​​)​2​​−3√​3​​​−3=0

x=√​3​​​

x=√​3​​​

Kan het ook fout gaan als je geen schets maakt?

uhm.... ja!

Toon aan dat 

een maximum heeft voor 

f(x)=2x​5​​−6x​3​​

x=0

stel de afgeleide op van

f(x)=2x​5​​−6x​3​​

f(x)=2x​5​​−6x​3​​

f(x)=2x​5​​−6x​3​​

f​′​​(x)=10x​4​​−18x​2​​

f​′​​(0)=...

1. -2
2. -3
3. 4
4. 0

Is het een extreme waarde?

In dit geval hebben we geen extreme waarde, maar is de afgeleide wel gelijk aan 0.

Conclusie: maak altijd een schets!