H5 - Pythagoras - 2M- 2425

• Wiskunde
• Middelbare school
• vmbo t
• Leerjaar 2

H5 - Pythagoras

H5.1 - Kwadraten

4​2​​=4⋅4=16

13​2​​=13⋅13=169

23,8​2​​=566,44

Kwadraten uitrekenen = kwadrateren

H5.1 - Wortels

Wortels zijn het omgekeerde
van kwadraten.

√​16​​​=4

√​169​​​=13

√​83​​​=9,1104...

Wortels uitrekenen = worteltrekken

Kwadraten               Wortels

12 = 1 x 1 = 1                                                              

22 = 2 x 2 = 4

32 = 3 x 3 = 9

42 = 4 x 4 = 16

52 = 25

62 = 36

72 = 49

√​1​​​=1

√​4​​​=2

want 1 x 1 = 1

want 2 x 2 = 4

√​9​​​=3

√​16​​​=4

√​25​​​=5

√​36​​​=6

√​49​​​=7

want 3 x 3 = 9

want 4 x 4 = 16

Kwadraten               Wortels

82 = 64

92 = 81

102 = 100

112 = 121

122  = 144

132 = 169

142 =196

√​196​​​=14

√​169​​​=13

√​144​​​=12

√​121​​​=11

√​100​​​=10

√​81​​​=9

√​64​​​=8

Kwadraten               Wortels

152 = 225

202 = 400

252 = 625

302 = 900

402 = 1600

502 = 2500

√​225​​​=15

√​400​​​=20

√​625​​​=25

√​900​​​=30

√​1600​​​=40

√​2500​​​=50

Rekenvolgorde 

  Rekenvolgorde:

1. Tussen haakjes
2. Kwadraten en wortels
3.   x   en   :   
4.   +   en  -   

voorbeeld

3√​625​​​−2√​144​​​=

voorbeeld

3√​625​​​−2√​144​​​=

3⋅25−2⋅12=

voorbeeld

3√​625​​​−2√​144​​​=

3⋅25−2⋅12=

75−24=51

H5.2- Machten

                     3² spreek je uit als 3 kwadraat 

                     3² = 3 x 3

                          spreek je uit als wortel 16

                                    want 4 x 4 = 16

√​​​​16=4

√​16​​​

Even een beetje herhalen:

Kwadraten én machten worden gebruikt om berekeningen snel uit te voeren of formules korter te schrijven.

Zo kan je de berekening 7 × 7 × 7 × 7 × 7 korter schrijven als 7⁵.

Je kan 75 op meerdere manieren uitspreken:

- 7 tot de macht 5

- 7 tot de vijfde

- 7 tot de vijfde macht

Van kwadraten naar machten

Een macht uitrekenen noem je machtsverheffen!

Macht

2⁶

2 is het grondtal

6 is de exponent

 Het getal 43  =

  4 x 4 x 4  = 64

Zoals ze al uitleggen:

4 noem je het het grondtal

6 noem je de exponent

- 4 tot de macht 3

- 4 tot de derde

- 4 tot de derde macht

Uitspraak:

5.2 - Machten

Op de rekenmachine doe je:

4 ^ 3 = 64

Oefen eens mee:

H5.3 - De stelling van Pythagoras

Even herhalen:

3² spreek je uit als 3 kwadraat 

3² = 3 x 3

4⁵ spreek je uit als :4 tot de 5^e macht    4⁵ = 4 x 4 x 4 x 4 x 4                        

                                   

√​​​​16=4

wortel 16 = 4,

want 4 x 4 -=16

Rechthoekige driehoeken

rechthoekige driehoeken?

Waarom zijn dit rechthoekige driehoeken?

De stelling van Pythagoras kan alle worden toegepast in rechthoekige driehoeken! 

Wat zijn ook al weer:

De Stelling van Pythagoras ...

 ...kun je alleen gebruiken     bij  

  rechthoekige driehoeken

Rechthoekige driehoeken

Dus:  Kenmerken van Rechthoekige driehoeken"

 

We weten dat ze:

•  1 hoek van 90 graden hebben. (Zie hoek A, F en I        hieronder).
• 2 korte zijden (= rechthoekszijden) hebben en 1 lange zijde (schuine zijde)

Stelling van Pythagoras

Er zijn meer manieren om de stelling van Pythagoras uit te leggen. 

Je kunt met deze stelling de lengte van een zijde uitrekenen

In een rechthoekige driehoek geldt namelijk altijd:

(ene korte zijde)2+(andere korte zijde)2 =(lange zijde)2

of

RHZ2 +RHZ2 = SZ2

(rechthoekzijde2 + rechthoekzijde2 = schuine zijde2)

                                                         

Hoe is de stelling van Pythagoras goed opgeschreven bij deze 

driehoek?

1. KL+LM=KL
2. KM​2​​+KL​2​​=ML​2​​
3. LM​2​​+KL​2​​=KM​2​​
4. KM​2​​+LM​2​​=KL​2​​

De schuine (of lange) zijde berekenen

Wat is de opgave?

5²+12²=..²

Nog een voorbeeld

Wat is de opgave?

1,6²+1,2²=..²

In de vorige video zag je hoe je moet werken als je wél de langste zijde weet, maar een rechthoekzijde moet uitrekenen.

zijde		kwadraat
RHZ	24	576
RHZ	?	??? +
SZ	30	900

900 - 576 = 324.  - >wortel 324 = 18 De vlieger staat 18 m. hoog

5.4 Pythagoras gebruiken

Onderzoek rechthoekige driehoek?

Is het een rechthoekige driehoek?

kz​2​​=

kz​2​​=

lz​2​​=

______________+?

kz​2​​=1024

kz​2​​=1681

lz​2​​=2401

____________+?

1024+1681=2705

Dus driehoek PQR is géén rechthoekige driehoek

Oefenen

Tekst

zijde		kwadraat
RHZ - PQ	132
RHZ - PR	55	+
SZ - QR	143

Soms is het nodig om eerst een hulplijn te zetten, omdat er geen rechthoekige driehoek is.

Kijk maar eens naar deze driehoek.

Pas na het zetten van de stippellijn, zijn er 2 rechthoekige driehoeken gekomen en kun je Pythagoras gebruiken!

Diagonalen op kubus en balk

Op de balk is lijnstuk EG getekend. Lijnstuk EG is een diagonaal van het bovenvlak. Je kunt de lengte van de diagonaal EG berekenen met de stelling van Pythagoras. 

 Pythagoras gebruiken: Diagonaal (kubus/balk)

Stappenplan:

Stap 1: Schets het vlak met diagonaal.

Stap 2: Zoek de rechthoekige driehoek.

Stap 3: Bereken met 

              werkschema SvP.

Wat weet je nu over en kan je nu met mijn stelling?

• het is alleen toepasbaar bij een rechthoekige driehoek
• er zijn twee korte zijden en een lange zijde
• je kan de lange zijde uitrekenen
• je kan een korte zijde uitrekenen
• je kan controleren of een driehoek rechthoekig is
• je kan een verhaaltjessom met pythagoras oplossen
• je kent een irritant liedje over mijn stelling

Stappen bij verhaaltjessom:

1. lees het verhaal
2. maak een schets met alle maten erin
3. maak het schema met het vraagteken 
4. vul het schema in
5. reken het vraagteken uit
6. geef antwoord

kz​2​​=

kz​2​​=

lz​2​​=

____________+

→