§1.6 Het goede telmodel kiezen

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 5

§4.6 Het goede telmodel kiezen

Planning lesstof 

H4 Systematisch tellen 

Paragraaf	Wat ga je leren?
§4.1 Mogelijkheden tellen	Herkennen van regelmatige en onregelmatige boomdiagrammen. Het tekenen van een boomdiagram.
§4.2 Machtsbomen en faculteitsbomen	Aantal mogelijkheden met een machtsboom of een faculteitsbom berekenen.
§4.3 Permutaties	Kunnen opnoemen wat een permutatie is. Aantal permutaties berekenen.
§4.4 Routes in een rooster	Aantal korte routes in een rooster kunnen berekenen.
§4.5 Combinaties	 Kunnen opnoemen wat een combinatie is. Aantal combinaties kunnen berekenen.
§4.6 Het goede telmodel kiezen	Bij een telprobleeml het juiste telmodel kiezen.

Lesdoel

Bij een telprobleem het juiste telmodel kiezen.

Het verschil tussen permutatie en combinatie 

Permutatie en combinatie 

Permutatie of combinatie?
Uit een klas worden 6 leerlingen gekozen om een volleybalteam te vormen.

1. Permutatie
2. Combinatie

Permutatie of combinatie?
Bij een verloting zijn drie prijzen te winnen: een tablet, een grafische rekenmachine en een taart.

1. Permutatie
2. Combinatie

Permutatie of combinatie?
In een klas worden vijf kaartjes verloot voor een toneelvoorstelling.

1. Permutatie
2. Combinatie

Permutatie of combinatie?
Een vereniging kiest uit haar leden een voorzitter, een secretaris en een penningmeester.

1. Permutatie
2. Combinatie

Permutatie of combinatie?
Uit de top tien stel je een eigen top drie samen.

1. Permutatie
2. Combinatie

Wanneer welk telmodel?

Boomdiagram, rooster of een schema?

• Als je te maken hebt met de keus uit 2 mogelijkheden met vaste aantallen per mogelijkheid, dan is een rooster een handig telmodel;
  
• Heeft een boomdiagram een regelmatige structuur, dan kun je het aantal mogelijkheden berekenen door de aantallen vertakkingen per kolom met elkaar te vermenigvuldigen;
• Heeft het boomdiagram geen regelmatige structuur, dan moet je het boomdiagram tekenen of alle mogelijkheden systematisch opschrijven. 

Voorbeeld 1 

Uit een vaas met 16 knikkers genummerd van 0 t/m 15 trek je zonder terugleggen, 11 keer een knikker. 

Bij elke trekking noteer je het getrokken nummer. 

Bereken het aantal mogelijke uitkomsten. 

Voorbeeld 1 

Uit een vaas met 16 knikkers genummerd van 0 t/m 15 trek je zonder terugleggen, 11 keer een knikker. 

Bij elke trekking noteer je het getrokken nummer. 

Bereken het aantal mogelijke uitkomsten. 

Bij elke trekking is het aantal mogelijkheden één kleiner. 

Boomdiagram is een goed telmodel. 

Aantal mogelijke uitkomsten= 16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 174356582400

of meteen aantal mogelijke uitkomsten = PERM (16, 11)

Voorbeeld 2

Joke werpt met drie dobbelstenen. 

Hoeveel mogelijkheden zijn er om in totaal hoogstens 5 ogen te gooien? 

Voorbeeld 2

Joke werpt met drie dobbelstenen. 

Hoeveel mogelijkheden zijn er om in totaal hoogstens 5 ogen te gooien? 

Systematisch alle mogelijkheden uitschrijven. 

Voorbeeld 3 

Van 28 leerlingen van een klas worden er acht uitgekozen om een enquête in te vullen. 

Hoeveel achttallen zijn mogelijk? 

Voorbeeld 3 

Van 28 leerlingen van een klas worden er acht uitgekozen om een enquête in te vullen. 

Hoeveel achttallen zijn mogelijk? 

De volgorde is niet van belang, dus het gaat om combinaties. 

Aantal = COMB(28,8) = 3 108 105 

Een toneelgezelschap van acht acteurs speelt een scène met drie rollen. Je wil weten op hoeveel verschillende manieren de rollen verdeeld kunnen worden. Welk telmodel is het handigst?

1. Systematisch uitschrijven van de mogelijkheden
2. Een rooster
3. Een Boomdiagram

Deelproblemen combineren

Er zijn telproblemen waarbij je het aantal mogelijkheden vindt door resultaten van deelproblemen te combineren.

Een docent geschiedenis wil een toets maken met vier vragen over elk van de eerste drie hoofdstukken uit het boek. Hij heeft een bestand met bij hoofdstuk 1 acht toetsvragen, bij hoofdstuk 2 zeven toetsvragen en bij hoofdstuk 3 tien toetsvragen.

  Bereken hoeveel mogelijkheden er zijn om vier toetsvragen bij hoofdstuk 1 te selecteren.

Antwoord

Voor het eerste hoofdstuk heeft de docent acht vragen waarvan hij er vier wil kiezen. 

Dit kan op 8C4 = 70  manieren.

8 boven 4

Bereken ook bij hoofdstuk 2 en bij hoofdstuk 3 het aantal mogelijke selecties van vier toetsvragen.

1. 35 en 210
2. 210 en 35
3. 350 en 21
4. 21 en 350

Waarom moet je de antwoorden van de vorige opdrachten vermenigvuldigen?

SAMENGEVAT

COMBINATIE

Een combinatie is een selectie uit een aantal elementen, oftewel een deelverzameling. 

Het aantal verschillende manieren waarop je zo'n selectie kunt samenstellen, waarbij de volgorde binnen de selectie niet belangrijk is, is dus het aantal combinaties.

PERMUTATIE

Een permutatie is een volgorde. Als je het aantal permutaties berekent, bereken je dus het aantal mogelijke verschillende volgorden hoe je een aantal elementen kunt sorteren.

Een variatie

Een variatie is een deelverzameling (zie: combinatie) waarbij de volgorde binnen de deelverzameling wel belangrijk is. Het aantal mogelijke variaties is dus het aantal mogelijkheden om een selectie te maken uit een aantal elementen EN het aantal mogelijkheden om zo'n selectie op volgorde te zetten.

Aantekening 4.6 Telmodel kiezen.

! Faculteit: Alles op volgorde leggen. 

Permutatie -> nPr: Een deel op volgorde leggen.

Combinatie ->nCr: Een deel kiezen zonder volgorde. 

H4 Systematisch tellen 

Paragraaf	Leerdoelen
§4.1 Mogelijkheden tellen	Herkennen van regelmatige en onregelmatige boomdiagrammen. Het tekenen van een boomdiagram.
§4.2 Machtsbomen en faculteitsbomen	Aantal mogelijkheden met een machtsboom of een faculteitsbom berekenen.
§4.3 Permutaties	Kunnen opnoemen wat een permutatie is. Aantal permutaties berekenen.
§4.4 Routes in een rooster	Aantal korte routes in een rooster kunnen berekenen.
§4.5 Combinaties	 Kunnen opnoemen wat een combinatie is. Aantal combinaties kunnen berekenen.
§4.6 Het goede telmodel kiezen	Bij een telprobleeml het juiste telmodel kiezen.

Maken en nakijken

&4.6 Het goede telmodel kiezen

Of

Alvast beginnen met de oefenproefwerk