11.2 Oppervlakte

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 5

11.2 

Oppervlakte

Primitieven en de kettingregel

f(ax+b)=​a​​1​​F(ax+b)+c

Differentieer

f(x)=x⋅ln(x)

primitiveer 

f(x)=​(3x−2)​4​​​​9​​

Uitwerking:

f(x)=1⋅ln(x)+x⋅​x​​1​​

=ln(x)+1

'

f(x)⋅g(x)=f(x)⋅g(x)+f(x)⋅g(x)

'

'

f(x)=​(3x−2)​4​​​​9​​=9(3x−2)

F(x)=9⋅​3​​1​​⋅−​3​​1​​(3x−2)​−3​​+c

=​(3x−2)​3​​​​−1​​+c

-

⁴

Voorkennis integreren:

∫​a​b​​f(x)dx=

b

[F(x)]

a

=

F(b)−F(a)

Uitleg: Oppervlakte van een vlakdeel tussen grafieken

∫​a​b​​(bovenste−onderste)dx

∫​a​b​​(f(x)−g(x))dx

[F(x)−G(x)]

b

a

Voorbeeld opgave:

f(x)=−0,5(x−2)(x−6)

bereken exact de oppervlakte van het gebied ingesloten door de x-as en de grafiek van f

stappenplan:

1. bereken de snijpunten 

2.. bereken de primitieven 

3. vul de punten in

1.−0,5(x−2)(x−6)=0

x=2

v

x=6

2.∫​2​6​​(−0,5(x​2​​−8x+12))dx=∫​2​6​​(−0,5x​2​​+4x−6)dx

​6​​1​​x​3​​+2x​2​​−6x

[

]

6

2

3.=5​3​​1​​

Het vlakdeel V wordt ingesloten de grafiek van

G(x)=x(ln(x)−2ln(x)−1)

²

een primitieve is van g

f(x)=−2ln(x)

en

g(x)=ln(x)−3

²

1. toon aan dat

2. bereken exact het oppervlakte van vlakdeel V

Uitwerking:

G​′​​(x)=g(x)

G(x)=1−ln(x)+x⋅2⋅ln(x)⋅​x​​1​​−(2⋅ln(x)−2x⋅​x​​1​​)−1

G(x)=ln(x)+2ln(x)−2ln(x)−2−1=ln(x)−3

G(x)=x(ln(x))−2ln((x)−1)=xln(x)−2ln(x)−x

'

'

²

²

²

²

²

Uitwerking: 

f(x)

g(x)

−2ln(x)=ln(x)−3

²

ln(x)=u

−2u=u​2​​−3

u​2​​+2u−3=0

(u+3)(u−1)=0

ln(x)=−3

ln(x)=1

V

x=e​−3​​

x=e​1​​=e

V

Uitwerking:

f(x)

g(x)

∫​e​−3​​​e​1​​​​−2ln(x)−(ln(x)−3)dx

²

(−2xln(x)−x)−(xln(x)−2ln(x)−1)

)

[

]

(−2eln(e)−e)−(e(ln(e)−eln(e)−1))−

²

²

Uitwerking:

(−2eln(e)−e)−(e(ln(e)−eln(e)−1))−

((−2e​−3​​ln(e​−3​​))−e​−3​​−(e​−3​​(ln(e​−3​​)−2ln(e​−3​​)−1)))

f(x)

g(x)

((−2e⋅1−e)−(e⋅1−2⋅1−1))−

²

²

(−2e​−3​​⋅−3−e​−3​​−(e​−3​​−9−2⋅−3−1))

−3e−e+3−(−3e​−3​​⋅−3−(e​−3​​−4))

−4e+3−(−3e​−3​​⋅−3−e​−3​​+4)

−4e+3−(9e​−3​​−e​−3​​+4)

−4e+3−(8e​−3​​+4)

−4e+3−8e​−3​​−4

=−4e−8e​−3​​−1