Herhaling H3 en H4 (LD 1 en 2)

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 3

H3 en H4

Ga rustig zitten op je plek.

Leg je wiskundespullen open op tafel.

Leg je iPad omgedraaid op tafel neer.

Opbouw les 

• Start
• Terugblik 
• Aan de slag
• Afsluiten

Ik kan nagaan of twee figuren gelijkvormig zijn.

Voorkennis H3

Gelijkvormigheid herkennen

Twee figuren zijn gelijkvormig als ...

... alle overeenkomstige hoeken even groot zijn. 

... de tabel van de zijden een verhoudingstabel is.

Dit moet je uit je hoofd leren!

Gelijkvormigheid herkennen

Stap 1   Noteer de hoeken die even groot zijn

Stap 2  Teken de tabel van de zijden

Stap 3  Bereken de factor bij elke kolom 

Stap 4  Antwoord geven

(Lukt bovenstaande? Dan zijn de figuren gelijkvormig)

(Is hij overal hetzelfde?)

Rekenen met gelijkvormigheid

Stap 1   Maak een schets van beide figuren in dezelfde stand.

Stap 2  Noteer de maten erbij die gegeven zijn.

Stap 3  Maak de tabel van de zijden.

Stap 4  Bereken de factor.

Stap 5  Bereken de onbekende lengte.

Vind je kruislings vermenigvuldigen fijner, dan sla je deze stap over.

Hoeken berekenen

1. Gestrekte hoek = 180 graden
   
2. Rechte hoek = 90 graden
   
3. Volle hoek = 360 graden
4. Overstaande hoeken zijn gelijk
5. Hoekensom driehoek = 180 graden
6. Hoekensom vierhoek = 360 graden
7. Basishoeken van een gelijkbenige driehoek zijn gelijk

WAT?

HOE?

WAAROM?

Hoeken berekenen

Gebruik de eigenschappen van soorten hoeken en vlakke figuren om een hoek te berekenen.

Let op hoeken berekenen is niet meten!! (Geen geodriehoek nodig!)

∠A1=180°−40°=140°

(gestrekte hoek)

Wat

Hoe

Waarom

Eigenschappen van driehoeken

Rechthoekige driehoek   

Heeft een rechte hoek 

              (rechte hoek)

            

∠A=90°

Eigenschappen van driehoeken

Gelijkbenige driehoek   

Twee gelijke zijden 

DF = EF

Twee gelijke hoeken 

              (basishoeken)

Lijnsymmetrisch

1 symmetrieas

∠D=∠E

Eigenschappen van driehoeken

Gelijkzijdige driehoek   

Alle zijden zijn even lang.

GH = HI = IG

Alle hoeken zijn even groot.

              

Lijn- en draaisymmetrisch

3 symmetrieassen, kleinste draaihoek = 120 graden

∠G=∠H=∠I=60°

Ik kan hoeken berekenen met behulp van F-hoeken en Z-hoeken.

paragraaf 3.1

F-hoeken

Gebruik de eigenschappen van soorten hoeken en 

vlakke figuren om een hoek te berekenen.

Let op hoeken berekenen is niet meten!! (Geen geodriehoek nodig!)

Wanneer je in een figuur twee evenwijdige lijnen hebt kun je gebruik maken van F-hoeken.

Notatie

∠B₁ = ∠C₁  (F-hoek)

Z-hoeken

Gebruik de eigenschappen van soorten hoeken en 

vlakke figuren om een hoek te berekenen.

Let op hoeken berekenen is niet meten!! (Geen geodriehoek nodig!)

Wanneer je in een figuur twee evenwijdige lijnen hebt kun je gebruik maken van Z-hoeken.

Notatie

∠S₂ = ∠R₄  (Z-hoek)

Ik kan van een vermoeden, een bewijs en stelling redeneren.

paragraaf 3.2

Vermoeden, bewijs en stelling

Vermoeden:  Een bewering waarvan men denkt dat deze waar is, 

                  zonder daarvan zeker te zijn. 

Bewijs:        Als je de juistheid van een vermoeden kan aantonen met behulp van                                 eigenschappen en sluitende redeneringen.

Stelling:      Als er een bewijs is voor een vermoeden mag dit vermoeden een stelling                            noemen.

Ik kan een figuur spiegelen in een lijn of punt.

paragraaf 3.3

Spiegelen in een punt

Spiegelen in een lijn

Gelijkbenige trapezium

Dit trapezium is lijnsymmetrisch.

Ik kan een vergelijking oplossen met ontbinden in factoren.

Paragraaf 4.1

Stap 1  Noteer de a, b en c 

Bedenk goed welke waarden de a, b en c hebben.

Voorbeeld:         x² + 2 + 7x = 0                                    

Bedenk dat de standaardvorm van een vergelijking met een drieterm er zo uit ziet:    

a x² + b x + c  = 0 

Dus in dit voorbeeld:  a = 1                     

                             b = 7                     

                             c = 2                       

Stap 2  Bereken de discriminant (D).

Hoeveel oplossingen een vergelijking heeft kun je uitzoeken door de discriminant te berekenen. De formule van de discriminant (D)

D > 0 twee snijpunten

D = 0 één snijpunt

D < 0 geen snijpunten 

Stap 2  Bereken de waarden van x.

De uitslag van de discriminant is bepalend voor de het aantal oplossingen van de vergelijking.

D > 0 twee snijpunten 

D = 0 één snijpunt     

D < 0 geen snijpunten 

Ontbinden in factoren (tweeterm)

Ontbinden van een tweeterm.

Deze methode kun je alleen gebruiken bij de vorm:   x² + ... x = 0

x² + 3x = x (x + 3)

6x² + 2x = x (6x + 2) = 2x (3x + 1)          

Haal steeds de gemeenschappelijke factor voor de haakjes!

Ontbinden in factoren (drieterm)          

Voor het ontbinden van een drieterm gebruiken we de product-som methode

Deze methode kun je alleen gebruiken bij de vorm:   x² + ... x + ... = 0

Dit methode kan dus alleen als a = 1.

Product is de uitkomst van een vermenigvuldiging.

Som is de uitkomst van een optelling.

Los de vergelijking op.

Stap 1   2x² - 32x - 72 = 0

Stap 2   x² - 16x - 36= 0

Stap 3   (x + 2) ( x - 18) = 0

Stap 4    x + 2 = 0  ∨  x - 18 = 0

            x = -2      ∨  x = 18 

Stappenplan

Vergelijking oplossen

Stap 1 Neem de vergelijking over.

Stap 2 Schrijf in de vorm: x² + .. x + .. = 0

Stap 3 Ontbind in factoren

Stap 4 Los op  

: 2

som = -16

product = -36

2 + - 18 = -16    en 2 • -18 = -36

Kwadratische vergelijkingen oplossen

Als je de kwadratische vergelijking in de vorm x² = getal hebt geschreven kun je aflezen hoeveel oplossingen deze heeft.       

getal > 0    De vergelijking heeft twee oplossing (positief en negatief).

getal = 0    De vergelijking heeft een oplossing, namelijk x=0.

getal < 0   De vergelijking heeft geen oplossing, want een wortel uit een negatief getal

               bestaat niet.

Verschil van twee kwadraten

Een soort gelijke vergelijking kan je snellen ontbinden in factoren.

Een vergelijking in de vorm:    x² - p² = o

x² - p² = 0

(x - p) (x + p) = 0

Dit noemen we ook wel een merkwaardig product.

Voorbeeld los op          x² - 16 = 0                     Verschil van twee kwadraten

                               (x + 4) (x - 4) = 0

                               x = -4  ∨  x = 4

Ik kan bij een kwadratische vergelijking met kwadraat afsplitsen oplossen.

Paragraaf 4.2

Kwadraat afsplitsen bij drietermen    

Vooraf handig om te weten: 

Merkwaardige producten

(a - b) (a + b) =  a² - b²   (verschil van twee kwadraten)

(a + b)² = a² + 2ab + b²              

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Hierin is 2ab steeds het dubbel product.

Kwadraat afsplitsen bij drietermen    

Nu andersom!

De formule y = x² + 10x + 25 kun je in de vorm y = (x + ...)² schrijven.

x² en 25 zijn beide kwadraten!

dus y = (x + 5)²  

Check!   haakjes wegwerken (x + 5)² = x² + 10x + 25,      2•5x is het dubbel product.

Kwadraat afsplitsen bij drietermen    

Nu vergelijkingen oplossen met kwadraat afsplitsen!

x² - 6x + 4 = 0                           bedenk dat    x² - 6x = (x + 3)² - 9

(x + 3)² - 9 + 4 = 0                     stap 1  Kwadraat afsplitsen

(x + 3)² - 5 = 0                          stap 2  Herleid 

(x + 3)² = 5                               stap 3  Schrijf de vergelijking in de vorm (.. + ..)² = ..

x + 3 = √5   ∨    x + 3 = -√5        stap 4  Berekenen en los op!

x = -3 + √5  ∨    x = -3 - √5

                                                    

Kwadraat afsplitsen bij drietermen    

Stappenplan

stap 1  Kwadraat afsplitsen

stap 2  Herleid 

stap 3  Schrijf de vergelijking in de vorm (.. + ..)² = ..

stap 4  Berekenen en los op!

                                                    

Ik kan een vergelijking oplossen met de abc-formule.

Succescriteria

Ik kan de discriminant bereken.

Ik kan een vergelijking oplossen.

Stappenplan abc-formule 

Stappenplan

stap o    Noteer de vergelijking.

stap 1    Bedenk goed wat de a, b en c is.

stap 2    Bereken de discriminant (D)   

stap 3    Bereken de oplossing van de vergelijking.  (Welke waarde(n) heeft x?)

  

                                                    

Stap 1  Noteer de a, b en c 

Bedenk goed welke waarden de a, b en c hebben.

Voorbeeld:         x² + 2 + 7x = 0                                    

Bedenk dat de standaardvorm van een vergelijking met een drieterm er zo uit ziet:    

a x² + b x + c  = 0 

Dus in dit voorbeeld:  a = 1                     

                             b = 7                     

                             c = 2                       

Stap 2  Bereken de discriminant (D).

Hoeveel oplossingen een vergelijking heeft kun je uitzoeken door de discriminant te berekenen. De formule van de discriminant (D)

D > 0 twee snijpunten

D = 0 één snijpunt

D < 0 geen snijpunten 

Stap 3  Bereken de oplossing van de vergelijking.

De uitslag van de discriminant is bepalend voor de het aantal oplossingen van de vergelijking.

Welke waarde(n) heeft x?

D > 0 twee snijpunten 

D = 0 één snijpunt     

D < 0 geen snijpunten 

Stappenplan   abc-formule 

stap o    Noteer de vergelijking.                                        3x² - 7x + 2 = 0

stap 1    Bedenk goed wat de a, b en c is.                           a=3   b=-7    c=2

stap 2    Bereken de discriminant (D)   

stap 3    Bereken de oplossing van de vergelijking.

  

                                                    

Stappenplan   ABC formule 

Stappenplan

stap o    Noteer de vergelijking.

stap 1    Bedenk goed wat de a, b en c is.

stap 2    Bereken de discriminant (D)   

stap 3    Bereken de waarden van x.

  

                                                    

Stap 1  Noteer de a, b en c 

Bedenk goed welke waarden de a, b en c hebben.

Voorbeeld:         x² + 2 + 7x = 0                                    

Bedenk dat de standaardvorm van een vergelijking met een drieterm er zo uit ziet:    

a x² + b x + c  = 0 

Dus in dit voorbeeld:  a = 1                     

                             b = 7                     

                             c = 2                       

Stap 2  Bereken de discriminant (D).

Hoeveel oplossingen een vergelijking heeft kun je uitzoeken door de discriminant te berekenen. De formule van de discriminant (D)

D > 0 twee snijpunten

D = 0 één snijpunt

D < 0 geen snijpunten 

Stap 2  Bereken de waarden van x.

De uitslag van de discriminant is bepalend voor de het aantal oplossingen van de vergelijking.

D > 0 twee snijpunten 

D = 0 één snijpunt     

D < 0 geen snijpunten 

Welke vragen heb je nog over H3? 

Noteer alleen het opgave nummer.

Ik kan bij een functievoorschrift nagaan of het gaat om een bergparabool of een dalparabool.

Zelfstandig werken (in stilte):

• Loop alle lessen nog eens rustig door in LessonUp.
• Aantekeningen gemaakt? 
• Alles gemaakt? 
• Alles nagekeken en begrepen?
• Klaar?   Check even of je het echt begrijpt. 

Morgen gaan we verder met H4

(H3) opgave 37, T1, T2, T4, T5

(H4) opgave T1, T2

Zelfstandig werken (op fluistertoon):

• Loop alle lessen nog eens rustig door in LessonUp.
• Aantekeningen gemaakt? 
• Alles gemaakt? 
• Alles nagekeken en begrepen?
• Klaar?   Check even of je het echt begrijpt. 

Morgen gaan we verder met H4

(H3) opgave 37, T1, T2, T4, T5

(H4) opgave T1, T2